§ 4. Каноническая форма сингулярного пучка матриц

Пусть дан произвольный сингулярный пучок матриц  размеров . Допустим сначала, что как между столбцами, так и между строками этого пучка нет линейной зависимости с постоянными коэффициентами.

Пусть , где  — ранг пучка, т. е. столбцы пучка  линейно зависимы между собой. В этом случае уравнение  имеет ненулевое решение минимальной степени . Из принятого в начале этого параграфа ограничения следует, что . Поэтому согласно теореме 4 данный пучок можно преобразовать к виду

где уравнение  не имеет решений  степени .

Если это уравнение имеет ненулевое решение минимальной степени  (при этом непременно ), то, применяя к пучку  теорему 4, мы данный пучок преобразуем к виду

Продолжая этот процесс далее, мы приведем данный пучок к квазидиагональному виду

            (25)

где , а уравнение  не имеет ненулевых решений, т. е. столбцы матрицы  линейно независимы.

Если строки пучка  линейно зависимы, то транспонированный пучок  может быть приведен к виду (25), где вместо чисел  будут фигурировать числа . Но тогда данный пучок  окажется преобразованным к квазидиагональному виду

      (26)

(,),

где у пучка  как столбцы, так и строки линейно независимы, т. е.  - регулярный пучок.

Рассмотрим теперь общий случай, когда строки и столбцы данного пучка могут быть связаны линейными зависимостями с постоянными коэффициентами. Обозначим максимальное число постоянных независимых решений уравнений

 и

соответственно через  и . Вместо первого из этих уравнений, подобно тому как мы это делали при доказательстве теоремы 4, рассмотрим соответствующее векторное уравнение ( и  - операторы, отображающие  в ). Линейно независимые постоянные решения этого уравнения обозначим через  и примем за первые базисные векторы в . Тогда в соответствующей матрице  первые  столбцов будут состоять из нулей

                                        (27)

Совершенно так же в пучке  первые  строк можно сделать нулевыми. Тогда данный пучок примет вид

                                                (28)

где строки и столбцы пучка  уже не связаны линейными зависимостями с постоянными коэффициентами. К пучку  применимо представление типа (26). Таким образом, в самом общем случае пучок  всегда может быть приведен к каноническому квазидиагональному виду

                                                                               (29)

Выбор индексов при  и  связан с тем, что нам удобно здесь считать  и .

Заменяя фигурирующий в (29) регулярный пучок  его канонической формой (6) (см. § 2, стр. 334), получим окончательно следующую квазидиагональную матрицу

     (30)

где матрица  имеет жорданову или естественную нормальную форму, а .

Матрица (30) представляет собой каноническую форму пучка  в самом общем случае.

Для того чтобы по данному пучку непосредственно определить его каноническую форму (30), не осуществляя последовательно процесс приведения, мы, следуя Кронекеру, в следующем параграфе введем понятие о минимальных индексах пучка.