§ 6. Сингулярные пучки квадратичных форм

Пусть даны две комплексные квадратичные формы:

,        (36)

они порождают пучок квадратичных форм. Этому пучку форм соответствует пучок симметричных матриц  (, ). Если мы в пучке форм  переменные подвергнем неособенному линейному преобразованию  , то преобразованному пучку форм  будет соответствовать пучок матриц

                                       (37)

здесь  - постоянная (т. е. не зависящая от ) неособенная квадратная матрица -гo порядка.

Два пучка матриц  и , связанные тождеством (37), называются конгруэнтными (ср. с определением 1 гл. X, стр. 269).

Очевидно, что конгруэнтность представляет собой специальный частный случай строгой эквивалентности пучков матриц. Однако в тех случаях, когда рассматривается конгруэнтность двух лучков симметрических (или кососимметрических) матриц, понятие конгруэнтности совпадает с понятием строгой эквивалентности. Это утверждает

Теорема 6. Два строго эквивалентных пучка комплексных симметрических (или кососимметрических) матриц всегда конгруэнтны между собой

Доказательство. Пусть даны два строго эквивалентных пучка симметрических (кососимметрических) матриц  и :

     (38)

Переходя к транспонированным матрицам, получаем:

                                                   (39)

Из (38) и (39) найдем:

                                              (40)

Полагая

                                                           (41)

равенство (40) перепишем так:

                                                          (42)

Из (42) легко следует:

  ,

и вообще

                                                           (43)

где

                                                           (44)

a  - произвольный многочлен относительно . Допустим, что этот многочлен так выбран, что . Тогда из (43) найдем:

                                                         (45)

Подставляя полученное выражение для  в (38), будем иметь:

                                                   (46)

Для того чтобы это соотношение было преобразованием конгруэнтности, нужно, чтобы выполнялось равенство

,

которое может быть переписано так:

.

Но матрица  удовлетворит этому уравнению, если в качестве  взять интерполяционный многочлен  па спектре матрицы . Это возможно сделать, поскольку многозначная функция  имеет однозначную ветвь, определенную па спектре матрицы , так как .

После этого равенство (46) станет условием конгруэнтности

                        (47)

Из доказанной теоремы и из теоремы 5 вытекает

Следствие. Два пучка квадратичных форм

 и

могут быть переведены друг в друга преобразованием   тогда и только тогда, когда пучки симметрических матриц  и  имеют одни и те же элементарные делители («конечные» и «бесконечные,») и одни и те же минимальные индексы.

Примечание. Для пучка симметрических матриц строки и столбцы имеют одни и те же минимальные индексы:

;                                     (48)

Поставим следующий вопрос. Даны две произвольные комплексные квадратичные формы

,

При каких условиях неособенным преобразованием переменных   можно одновременно привести эти формы к суммам квадратов

 и                                                (49)

Аналогичный вопрос возникает для двух эрмитовых форм  и , но в этом случае вместо (49) следует писать

 и                                            (50)

причем здесь  и   - вещественные числа.

Допустим, что квадратичные формы  и  обладают указанным свойством. Тогда пучок матриц  будет конгруэнтен пучку диагональных матриц

                                     (51)

Пусть среди диагональных двучленов  имеется ровно  не равных тождественно нулю. Не нарушая общности, можем считать, что

,  .

Полагая

мы матрицу (51) представим в виде

                                                   (52)

Сопоставляя (52) с (34) (стр. 343), мы видим, что в данном случае все минимальные индексы равны нулю. Кроме того, все элементарные делители имеют первую степень. Мы пришли к теореме

Теорема 7. Две квадратичные формы  и  одновременным преобразованием переменных могут быть приведены к суммам квадратов [(49) или (50)] в том и только в том случае, когда у пучка матриц  все элементарные делители (конечные и бесконечные) первой степени, а все минимальные индексы равны нулю.

Для того чтобы в общем случае одновременно привести две квадратичные формы  и  к некоторому каноническому виду, нужно заменить пучок матриц  строго эквивалентным ему «каноническим» пучком симметрических матриц.

Пусть пучок симметрических матриц  имеет минимальные индексы ,  и элементарные делители бесконечные  и конечные . Тогда в канонической форме (30) , и . Заменим в (30) каждые два диагональных блока вида  и  одним диагональным блоком , а каждый блок вида  заменим строго эквивалентным симметрическим блоком

           (53)

Кроме того, вместо регулярного диагонального блока  в (30) ( - жорданова матрица)

     (54)

возьмем строго эквивалентный ему пучок

                                        (55)

где

        (56)

Пучок  строго эквивалентен симметрическому пучку

     (57)

Две квадратичные формы с комплексными коэффициентами  и  преобразованием переменных  могут быть одновременно приведены к каноническому виду  и , определяемому равенством (57).