§ 6. Сингулярные пучки квадратичных формПусть даны две комплексные квадратичные формы:
они порождают пучок квадратичных форм
здесь Два пучка матриц Очевидно, что конгруэнтность представляет собой специальный частный случай строгой эквивалентности пучков матриц. Однако в тех случаях, когда рассматривается конгруэнтность двух лучков симметрических (или кососимметрических) матриц, понятие конгруэнтности совпадает с понятием строгой эквивалентности. Это утверждает Теорема 6. Два строго эквивалентных пучка комплексных симметрических (или кососимметрических) матриц всегда конгруэнтны между собой Доказательство. Пусть даны два строго эквивалентных пучка симметрических (кососимметрических) матриц
Переходя к транспонированным матрицам, получаем:
Из (38) и (39) найдем:
Полагая
равенство (40) перепишем так:
Из (42) легко следует:
и вообще
где
a
Подставляя полученное выражение для
Для того чтобы это соотношение было преобразованием конгруэнтности, нужно, чтобы выполнялось равенство
которое может быть переписано так:
Но матрица После этого равенство (46) станет условием конгруэнтности
Из доказанной теоремы и из теоремы 5 вытекает Следствие. Два пучка квадратичных форм
могут быть переведены друг в друга преобразованием Примечание. Для пучка симметрических матриц строки и столбцы имеют одни и те же минимальные индексы:
Поставим следующий вопрос. Даны две произвольные комплексные квадратичные формы
При каких условиях неособенным преобразованием переменных
Аналогичный вопрос возникает для двух эрмитовых форм
причем здесь Допустим, что квадратичные формы
Пусть среди диагональных двучленов
Полагая мы матрицу (51) представим в виде
Сопоставляя (52) с (34) (стр. 343), мы видим, что в данном случае все минимальные индексы равны нулю. Кроме того, все элементарные делители имеют первую степень. Мы пришли к теореме Теорема 7. Две квадратичные формы Для того чтобы в общем случае одновременно привести две квадратичные формы Пусть пучок симметрических матриц
Кроме того, вместо регулярного диагонального блока
возьмем строго эквивалентный ему пучок
где
Пучок
Две квадратичные формы с комплексными коэффициентами
|