§ 7. Приложения к дифференциальным уравнениям

Рассмотрим приложения полученных результатов к интегрированию системы  линейных дифференциальных уравнений первого порядка с  неизвестными функциями с постоянными коэффициентами

         (58)

или в матричной записи:

                                               (59)

здесь

, , (; ),

, .

Введем новые неизвестные функции , связанные со старыми  линейным неособенным преобразованием с постоянными коэффициентами:

,                   (60)

Кроме того, вместо уравнений (58) можно ваять любые  независимых линейных комбинаций их, что равносильно умножению матриц , ,  слева на квадратную неособенную матрицу -го порядка . Подставляя  вместо  в (59) и умножая (59) почленно слева на , получим:

                                               (61)

где

, ,    (62)

При этом пучки матриц  и  строго эквивалентны друг другу:

                                       (63)

Выберем матрицы  и  так, чтобы пучок  имел каноническую квазидиагональную форму

      (64)

В соответствии с диагональными блоками в (64) система дифференциальных уравнений распадается на  отдельных систем вида

,                                                              (65)

                    (66)

   (67)

                                                                         (68)

                                                     (69)

где

,                                                    (70)

, , ,  и т.д.      (71)

, если            (72)

Таким образом, интегрирование системы (59) в самом общем случае сведено к интегрированию частных систем (65) — (69) такого же типа. В этих системах пучок матриц  имеет соответственно вид .

1) Для того чтобы система (65) не была противоречивой, необходимо и достаточно, чтобы

,

т.е.

                                                   (73)

в этом случае в качестве неизвестных функций , составляющих столбец  могут быть взяты произвольные функции от .

2) Система (66) представляет собой систему вида

                                                      (74)

или в подробной записи

     (75)

Такая система всегда совместна. Если в качестве  взять произвольную функцию от , то последовательными квадратурами из (75) определятся все остальные неизвестные функции .

3) Система (67) представляет собой систему вида

                                                     (76)

или в подробной записи

   (77)

Из всех уравнений (77), кроме первого, мы однозначно определяем :

    (78)

Подставляя полученное выражение для  в первое уравнение, получаем условие совместности:

           (79)

4) Система (68) представляет собой систему вида

                                                   (80)

или в подробной записи

    (81)

Отсюда последовательно однозначно определяем решение

     (82)

5) Система (69) представляет собой систему вида

                                                         (83)

Как было показано в главе V (параграф 5), общее решение такой системы имеет вид

                              (84)

здесь  - столбец с произвольными элементами (начальными значениями неизвестных функций при ).

Обратный переход от системы (61) к системе (59) осуществляется формулами (60) и (62), согласно которым каждая из функций  является линейной комбинацией функций , а каждая из функций  линейно (с постоянными коэффициентами) выражается через функции .

Проведенный анализ показывает, что для совместности системы (58) в общем случае должны выполняться некоторые определенные линейные конечные и дифференциальные зависимости (с постоянными коэффициентами) между правыми частями уравнений.

Если эти условия выполнены, то общее решение системы содержит (в общем случае) линейно как произвольные постоянные, так и произвольные функции.

Характер условий совместности и характер решений (в частности количество произвольных постоянных и произвольных функций) определяются минимальными индексами и элементарными делителями пучка  поскольку от этих индексов и делителей зависит каноническая форма системы дифференциальных уравнений (65) — (69).