ГЛАВА XIII. МАТРИЦЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

В этой главе изучаются свойства вещественных матриц с неотрицательными элементами. Эти матрицы находят себе существенное применение в теории вероятностей при исследовании цепей Маркова («стохастические матрицы», см. [25]) и в теории малых колебаний упругих систем («осцилляционные матрицы», см. [7])

§ 1. Общие свойства

Начнем с определения.

Определение 1. Прямоугольную матрицу  с вещественными элементами

 (, )

мы будем называть неотрицательной (обозначение: ) или положительной (обозначение: ), если все элементы матрицы  неотрицательны (соответственно положительны):  (соответственно ).

Определение 2. Квадратная матрица  называется разложимой, если при некотором разбиении всех индексов  на две дополнительные системы (без общих индексов) ;

 (, ).

В противном случае матрицу  будем называть неразложимой.

Под перестановкой рядов в квадратной матрице  мы будем понимать соединение перестановки строк с такой же перестановкой столбцов матрицы .

Определение разложимой и неразложимой матриц может быть сформулировало так:

Определение 2'. Матрица  называется разложимой, если перестановкой рядов она может быть приведена к виду

где  и  - квадратные матрицы. В противном случае матрица  называется неразложимой.

Пусть матрица  соответствует линейному оператору  в -мерном векторном пространстве  с базисом . Перестановке рядов в матрице  соответствует перенумерация базисных векторов, т. е. переход от базиса  к новому базису , где  - некоторая перестановка индексов . При этом матрица  переходит в подобную ей матрицу  (в каждой строке и в каждом столбце преобразующей матрицы  один элемент равен единице, а все остальные элементы равны нулю).

Под -мерным координатным подпространством в  мы будем понимать любое подпространство в  с базисом . С каждым базисом  пространства  связаны  -мерных координатных подпространств. Определение разложимой матрицы может быть еще дано в следующей форме:

Определение 2". Матрица  называется разложимой в том и только в том случае, если соответствующий этой матрице оператор  имеет -мерное инвариантов координатное подпространство с .Докажем следующую лемму

Лемма 1. Если  - неразложимая матрица и  - порядок матрицы , то

                                         (1)

Доказательство. Для доказательства леммы достаточно показать, что для любого вектора (столбца)   имеет место неравенство

Это же неравенство будет установлено, если мы только покажем, что при условии  и  вектор  всегда имеет меньше нулевых координат, нежели вектор . Допустим противное. Тогда векторы  и  имеют одни и те же пулевые координаты. Не нарушая общности рассуждений, можно принять, что столбцы  и  имеют вид

, , (, ),

где столбцы  и  имеют один и тот же размер.

Полагая соответственно

будем иметь:

откуда

.

Поскольку , то отсюда вытекает

.

Это равенство противоречит неразложимости матрицы .

Таким образом, лемма доказана.

Введем в рассмотрение степени матрицы :

   

Тогда из леммы вытекает

Следствие. Если  - неразложимая матрица, то для любой пары индексов  существует целое положительное число  такое, что

                                                                 (2)

При этом число  всегда можно выбрать в пределах

                                          (3)

где  — степень минимального многочлена  матрицы .

Действительно, обозначим через  остаток от деления  на . Тогда в силу (1) . Так как степень  меньше , то из полученного неравенства вытекает, что при любых , по крайней мере одно из неотрицательных чисел

не равно нулю. Поскольку  при , то отсюда следует первое из соотношений (3). Второе соотношение (для ) получается аналогично, если неравенство  заменить неравенством .

Замечание. Это следствие из леммы показывает, что в неравенстве (1) можно заменить число  числом , где  — степень минимального многочлена матрицы .