§ 2. Спектральные свойства неразложимых неотрицательных матриц
1. Перрон в 1907 г. установил замечательные свойства спектра (т. е. совокупности характеристических чисел и собственных векторов) положительных матриц.
Теорема 1 (Перрона). Положительная матрица
всегда имеет вещественное и притом положительное характеристическое число
, которое является простым корнем характеристического уравнения и превосходит модули всех других характеристических чисел. Этому «максимальному» характеристическому числу
соответствует собственный вектор
матрицы
с положительными координатами
.
Положительная матрица является частным видом неразложимой неотрицательной матрицы. Фробениус обобщил теорему Перрона, исследовав спектральные свойства неразложимых неотрицательных матриц.
Теорема 2 (Фробениуса). Неразложимая неотрицательная матрица
всегда имеет положительное характеристическое число
, которое является простым корнем характеристического уравнения. Модули всех других характеристических чисел не превосходят числа
. «Максимальному» характеристическому числу
соответствует собственный вектор
с положительными координатами.
Если, при этом
имеет
характеристических чисел
по модулю равных
, то эти числа все различны между собой и являются корнями уравнения
(4)
и вообще совокупность всех характеристических чисел
матрицы
, рассматриваемая как система точек в комплексной
-плоскости, переходит сама в себя при повороте этой плоскости на угол
. При
перестановкой рядов можно матрицу
привести к следующему «циклическому» виду:
(5)
где вдоль диагонали стоят квадратные блоки.
Поскольку теорема Перрона следует как частный случай из теоремы Фробениуса, то мы будем доказывать только последнюю. Предварительно условимся относительно некоторых обозначений.
Мы будем писать:
или
,
где
и
- вещественные прямоугольные матрицы одинаковых размеров
,
(
,
)
в том и только в том случае, когда
(
,
) (6)
Если во всех неравенствах (6) можно отбросить знак равенства, то мы будем писать:
или
.
В частности
обозначает, что все элементы матрицы
неотрицательны (соответственно положительны).
Кроме того, через
мы будем обозначать
, т. е. матрицу, которая получается, если все элементы матрицы
заменить их модулями.
2. Доказательство теоремы Фробениуса. Для фиксированного вещественного вектора
полагаем:

при этом при определении минимума исключаются те значения индекса
, для которых
. Очевидно,
и
есть наибольшее из вещественных чисел
, для которых имеет место неравенство
.
Мы докажем, что функция
достигает своего наибольшего значения
на некотором векторе
:
(7)
Из определения
следует, что при умножении вектора
на число
величина
не меняется. Поэтому при разыскании максимума функции
можно ограничиться замкнутым множеством
, состоящим из векторов
, для которых
, 
Если бы функция
была непрерывна на множестве
, то существование максимума было бы обеспечено. Однако функция
непрерывна в любой «точке»
, но в граничных точках множества
, где одна из координат обращается в нуль, может испытывать разрывы. Поэтому мы вместо множества
введем множество
, состоящее из всех векторов
вида

Множество
, как и
, ограничено и замкнуто и состоит согласно лемме 1 из положительных векторов.
Кроме того, помножая обе части неравенства

на
, получаем:

Отсюда, исходя из определения
, находим:
.
Поэтому при разыскании максимума
мы можем множество
заменить множеством
, состоящим только из положительных векторов. На ограниченном замкнутом множестве
функция
непрерывна и поэтому достигает своего наибольшего значения на некотором векторе
.
Любой вектор
, для которого
(8)
будем называть экстремальным.
Докажем теперь, что: 1) определенное равенством (7) число
положительно и является характеристическим числом матрицы
и 2) любой экстремальный вектор
положителен и является собственным вектором матрицы
для характеристического числа
, т. е
,
,
(9)
Действительно, если
, то
. Но тогда
, поскольку ни одна строка неразложимой матрицы не может состоять сплошь из нулей. Следовательно, и
, так как
. Далее, пусть
(10)
Тогда согласно лемме 1
. Допустим теперь, что
. Тогда в силу (1), (8) и (10) получаем последовательно:
,
,
.
Последнее же неравенство противоречит определению числа
, так как из этого неравенства следовало бы
при достаточно малом
, т. е.
. Следовательно,
. Но тогда
,
откуда вытекает:
.
Покажем теперь, что модули всех характеристических чисел не превосходят
. Пусть
(11)
Переходя к модулям в левой и правой частях равенства (11), получим:
(12)
Откуда
.
Допустим, что характеристическому числу
соответствует какой- либо собственный вектор
:

Тогда, полагая в (11) и (12)
, заключаем, что
- экстремальный вектор и, следовательно,
, т. е.
, где
. Отсюда следует, что характеристическому числу
соответствует только одно собственное направление, так как при наличии двух линейно независимых собственных векторов
и
мы смогли бы подобрать числа
и
так, чтобы собственный вектор
имел нулевую координату, а это по доказанному невозможно.
Введем в рассмотрение присоединенную матрицу для характеристической матрицы
:

где
- характеристический многочлен матрицы
, a
- алгебраическое дополнение элемента
в определителе
. Из того, что характеристическому числу
соответствует (с точностью до множителя) только один собственный вектор
, где
, вытекает, что
и что в любом ненулевом столбце матрицы
все элементы отличны от нуля и одного знака. То же положение имеет место и для строк матрицы
, поскольку в предыдущих рассуждениях можно матрицу
заменить транспонированной матрицей
. Из отмеченных свойств строк и столбцов матрицы
вытекает, что все
отличны от нуля и одного знака
. Поэтому

т. е.
и
- простой корень характеристического уравнения
.
Так как
- максимальный корень многочлена
, то
возрастает при
. Поэтому
и
, т. е.
(13)
3. Переходя к доказательству второй части теоремы Фробеннуса, мы воспользуемся следующей интересной леммой:
Лемма 2. Если
и
- две квадратные матрицы одного и того же порядка
, причем
- неразложимая матрица и
(14)
то между любым характеристическим числом
матрицы
и максимальным характеристическим числом
матрицы
имеет место неравенство
(15)
В соотношении (15) знак равенства может иметь место в том и только в том случае, когда
(16)
где
, a
- диагональная матрица, у которой диагональные элементы по модулю равны единице
.
Доказательство леммы. Обозначим через
собственный вектор матрицы
, отвечающей характеристическому числу
:
(17)
Из (14) и (17) находим:
(18)
Поэтому
.
Разберем теперь подробно случай
. В этом случае из (18) следует, что
- экстремальный вектор для матрицы
и, следовательно,
и
- собственный вектор матрицы
для характеристического числа
. Поэтому соотношение (18) принимает вид
(19)
Отсюда в силу (14)
(20)
Пусть
, где

Определим диагональную матрицу
равенством

Тогда
.
Подставляя это выражение для
в (17) и полагая там
, легко найдем:
(21)
где
(22)
Сопоставляя (19) с (21), получим:
(23)
Но в силу (22) и (20) Поэтому из (23) находим:

Поэтому из (23) находим

Поскольку
, то это равенство может иметь место лишь тогда, когда
,
т. е
.
Отсюда
.
Лемма доказана.
4. Вернемся к теореме Фробениуса и применим доказанную лемму к неразложимой матрице
, имеющей ровно
различных характеристических чисел с максимальным модулем
:

Тогда, полагая в лемме
и
. Для любого
будем иметь:
(24)
где
- диагональная матрица с
.
Пусть снова
- положительный собственный вектор матрицы
, соответствующий максимальному характеристическому числу
:
(25)
Тогда, полагая
(26)
из (25) и (26) найдем:
(
,
) (27)
Последние равенства показывают, что векторы
, определяемые из (26), являются собственными векторами матрицы
для характеристических чисел
.
Из (24) следует, что не только
, но и каждое из характеристических чисел
матрицы
является простым. Поэтому собственные векторы
, а значит, и матрицы
определяются с точностью до скалярных множителей. Для однозначного определения матриц
мы будем выбирать первые диагональные элементы этих матриц равными единице. Тогда
и
.
Далее, из (24) следует:
.
Отсюда аналогично предыдущему заключаем, что вектор

есть собственный вектор матрицы
, соответствующий характеристическому числу
.
Поэтому
совпадает с одним из чисел
, а матрица
- с соответствующей матрицей
, т. е. при некоторых 
,
,
, 
Таким образом, числа
соответствующие диагональные матрицы
, образуют две изоморфные между собой мультипликативные абелевы группы.
В каждой конечной группе, состоящей из
различных элементов,
-я степень любого элемента равна единице группы. Поэтому
- корни
-й степени из единицы. Так как существует всего
различных корней из единицы и
, то
, 
и
(
,
) (28)
(
) (29)
Числа
образуют полную систему корней уравнения (4).
В соответствии с (28) будем иметь
(
;
) (30)
Теперь равенство (24) нам дает (при
):
Отсюда следует, что матрица
при умножении на
переходит в подобную матрицу, и, следовательно, вся система
характеристических чисел матрицы
при умножении на
переходит в самое себя. Далее

поэтому все диагональные элементы в
- корни
-й степени из единицы. Перестановкой рядов в
(и соответственно в
) можно добиться того, чтобы матрица
имела следующий квазидиагональный вид:
(32)
где
- единичные матрицы, а
, 
(
- целое;
;
).
Очевидно, что
.
Записывая
в блочном виде в (соответствии с (32))
(33)
мы равенство (31) заменим системой равенств
(
,
). (34)
Отсюда при любых
и
либо
, либо
.
Возьмем
. Поскольку все матрицы
одновременно обратиться в нуль, то одно из чисел
(
) должно равняться
. Это возможно лишь при
. Тогда
и
. Полагая в (34)
, аналогично найдем, что
и что
и т. д. В результате получим:

При этом
. Но тогда при
в правых частях равенства (34) стоят множители

Одно из этих чисел должно равняться
. Это возможно лишь, когда
и
и, следовательно,
.
Таким образом,

и матрица
имеет вид (5).
Теорема Фробениуса доказана полностью.
5. Сделаем несколько замечаний к теореме Фробениуса.
Замечание 1. При доказательстве теоремы Фробениуса мы попутно установили, что для неразложимой матрицы
, имеющей максимальное характеристическое число
, присоединенная матрица
при
положительна:
, (35)
т.е.
, (35’)
где
- алгебраическое дополнение элемента
в определителе
.
Рассмотрим теперь приведенную присоединенную матрицу (см. гл. IV, § 6)

где
- наибольший общий делитель (со старшим коэффициентом единица) всех многочленов
. При этом из (35') следует, что
. Все корни многочлена
являются характеристическими числами, отличными от
. Поэтому все корни
либо комплексны, либо вещественны, но меньше
. Отсюда
, что в соединении с (35) дает:
(36)
Замечание 2. Неравенства (35') позволяют определить границы для величины максимального характеристического числа
.
Введем обозначения
,
, 
Тогда для неразложимой матрицы 
, (37)
причем знак равенства слева или справа от
имеет место лишь при
, т. е. когда все «строчные суммы»
равны между собой.
Действительно, прибавим к последнему столбцу характеристического определителя

все предыдущие столбцы и разложим после этого определитель по элементам последнего столбца. Получим:
.
Отсюда в силу (35') вытекает неравенство (37).
Замечание 3. Неразложимая матрица
не может иметь двух линейно независимых неотрицательных собственных векторов. Действительно, пусть помимо положительного собственного вектора
, соответствующего максимальному характеристическому числу
, матрица
имеет еще собственный вектор
(линейно независимый от
) для характеристического числа
:
(
,
).
Поскольку
- простой корень характеристического уравнения
, то

Обозначим через
положительный собственный вектор транспонированной матрицы
' для
:
.
Тогда
;
отсюда, поскольку
,
,
а это невозможно при
,
,
.
Замечание 4. При доказательстве теоремы Фробениуса мы установили следующую характеристику максимального собственного числа
неразложимой матрицы
.
,
где
- наибольшее из чисел
, для которых имеет место неравенство
. Другими словами, поскольку
, то и

Совершенно аналогично можно для любого вектора
определить
как наименьшее из чисел
, удовлетворяющих неравенству
,
т. е. положить:
.
При этом, если при некотором
имеют место соотношения
,
, то следует считать
.
Совершенно так же, как и для функции
, доказывается, что функция
достигает своего наименьшего значения
на некотором векторе
.
Покажем, что число
, определяемое равенством
(38)
совпадает с числом
, а вектор
, на котором достигается этот минимум, является собственным вектором матрицы
при
.
Действительно,
(
,
).
Допустим, что здесь знак
нельзя заменить знаком равенства. Тогда согласно лемме 1
,
(39)
Полагая
,
будем иметь

и, следовательно, при достаточно малом 
,
что противоречит определению числа
. Итак,
.
Но тогда
.
Поэтому из
следует
.
В силу замечания 3 отсюда
.
Таким образом, мы имеем для числа
двойную характеристику
(40)
причем доказано, что
или
достигается только на положительном собственном векторе для
.
Из установленной характеристики числа
вытекают неравенства
(
,
) (41)
Замечание 5. Поскольку в (40)
и
всегда достигаются только на положительном собственном векторе неразложимой матрицы
, то из неравенств
,
, 
или
,
, 
всегда следует
,
.