§ 2. Спектральные свойства неразложимых неотрицательных матриц

1. Перрон в 1907 г. установил замечательные свойства спектра (т. е. совокупности характеристических чисел и собственных векторов) положительных матриц.

Теорема 1 (Перрона). Положительная матрица всегда имеет вещественное и притом положительное характеристическое число , которое является простым корнем характеристического уравнения и превосходит модули всех других характеристических чисел. Этому «максимальному» характеристическому числу соответствует собственный вектор матрицы с положительными координатами .

Положительная матрица является частным видом неразложимой неотрицательной матрицы. Фробениус обобщил теорему Перрона, исследовав спектральные свойства неразложимых неотрицательных матриц.

Теорема 2 (Фробениуса). Неразложимая неотрицательная матрица всегда имеет положительное характеристическое число , которое является простым корнем характеристического уравнения. Модули всех других характеристических чисел не превосходят числа . «Максимальному» характеристическому числу соответствует собственный вектор с положительными координатами.

Если, при этом имеет характеристических чисел по модулю равных , то эти числа все различны между собой и являются корнями уравнения

(4)

и вообще совокупность всех характеристических чисел матрицы , рассматриваемая как система точек в комплексной -плоскости, переходит сама в себя при повороте этой плоскости на угол . При перестановкой рядов можно матрицу привести к следующему «циклическому» виду:

(5)

где вдоль диагонали стоят квадратные блоки.

Поскольку теорема Перрона следует как частный случай из теоремы Фробениуса, то мы будем доказывать только последнюю. Предварительно условимся относительно некоторых обозначений.

Мы будем писать:

или ,

где и - вещественные прямоугольные матрицы одинаковых размеров

, (, )

в том и только в том случае, когда

(, ) (6)

Если во всех неравенствах (6) можно отбросить знак равенства, то мы будем писать:

или .

В частности обозначает, что все элементы матрицы неотрицательны (соответственно положительны).

Кроме того, через мы будем обозначать , т. е. матрицу, которая получается, если все элементы матрицы заменить их модулями.

2. Доказательство теоремы Фробениуса. Для фиксированного вещественного вектора полагаем:

при этом при определении минимума исключаются те значения индекса , для которых . Очевидно, и есть наибольшее из вещественных чисел , для которых имеет место неравенство

Мы докажем, что функция достигает своего наибольшего значения на некотором векторе :

(7)

Из определения следует, что при умножении вектора на число величина не меняется. Поэтому при разыскании максимума функции можно ограничиться замкнутым множеством , состоящим из векторов , для которых

Если бы функция была непрерывна на множестве , то существование максимума было бы обеспечено. Однако функция непрерывна в любой «точке» , но в граничных точках множества , где одна из координат обращается в нуль, может испытывать разрывы. Поэтому мы вместо множества введем множество , состоящее из всех векторов вида

Множество , как и , ограничено и замкнуто и состоит согласно лемме 1 из положительных векторов.

Кроме того, помножая обе части неравенства

на , получаем:

Отсюда, исходя из определения , находим:

Поэтому при разыскании максимума мы можем множество заменить множеством , состоящим только из положительных векторов. На ограниченном замкнутом множестве функция непрерывна и поэтому достигает своего наибольшего значения на некотором векторе .

Любой вектор , для которого

(8)

будем называть экстремальным.

Докажем теперь, что: 1) определенное равенством (7) число положительно и является характеристическим числом матрицы и 2) любой экстремальный вектор положителен и является собственным вектором матрицы для характеристического числа , т. е

, , (9)

Действительно, если , то . Но тогда , поскольку ни одна строка неразложимой матрицы не может состоять сплошь из нулей. Следовательно, и , так как . Далее, пусть

(10)

Тогда согласно лемме 1 . Допустим теперь, что . Тогда в силу (1), (8) и (10) получаем последовательно:

, , .

Последнее же неравенство противоречит определению числа , так как из этого неравенства следовало бы при достаточно малом , т. е. . Следовательно, . Но тогда

откуда вытекает: .

Покажем теперь, что модули всех характеристических чисел не превосходят . Пусть

(11)

Переходя к модулям в левой и правой частях равенства (11), получим:

(12)

Откуда

Допустим, что характеристическому числу соответствует какой- либо собственный вектор :

Тогда, полагая в (11) и (12) , заключаем, что - экстремальный вектор и, следовательно, , т. е. , где . Отсюда следует, что характеристическому числу соответствует только одно собственное направление, так как при наличии двух линейно независимых собственных векторов и мы смогли бы подобрать числа и так, чтобы собственный вектор имел нулевую координату, а это по доказанному невозможно.

Введем в рассмотрение присоединенную матрицу для характеристической матрицы :

где - характеристический многочлен матрицы , a - алгебраическое дополнение элемента в определителе . Из того, что характеристическому числу соответствует (с точностью до множителя) только один собственный вектор , где , вытекает, что и что в любом ненулевом столбце матрицы все элементы отличны от нуля и одного знака. То же положение имеет место и для строк матрицы , поскольку в предыдущих рассуждениях можно матрицу заменить транспонированной матрицей . Из отмеченных свойств строк и столбцов матрицы вытекает, что все отличны от нуля и одного знака . Поэтому

т. е. и - простой корень характеристического уравнения .

Так как - максимальный корень многочлена , то возрастает при . Поэтому и , т. е.

(13)

3. Переходя к доказательству второй части теоремы Фробеннуса, мы воспользуемся следующей интересной леммой:

Лемма 2. Если и - две квадратные матрицы одного и того же порядка , причем - неразложимая матрица и

(14)

то между любым характеристическим числом матрицы и максимальным характеристическим числом матрицы имеет место неравенство

(15)

В соотношении (15) знак равенства может иметь место в том и только в том случае, когда

(16)

где , a - диагональная матрица, у которой диагональные элементы по модулю равны единице .

Доказательство леммы. Обозначим через собственный вектор матрицы , отвечающей характеристическому числу :

(17)

Из (14) и (17) находим:

(18)

Поэтому

Разберем теперь подробно случай . В этом случае из (18) следует, что - экстремальный вектор для матрицы и, следовательно, и - собственный вектор матрицы для характеристического числа . Поэтому соотношение (18) принимает вид

(19)

Отсюда в силу (14)

(20)

Пусть , где

Определим диагональную матрицу равенством

Тогда

Подставляя это выражение для в (17) и полагая там , легко найдем:

(21)

где

(22)

Сопоставляя (19) с (21), получим:

(23)

Но в силу (22) и (20) Поэтому из (23) находим:

Поэтому из (23) находим

Поскольку , то это равенство может иметь место лишь тогда, когда

т. е

Отсюда

Лемма доказана.

4. Вернемся к теореме Фробениуса и применим доказанную лемму к неразложимой матрице , имеющей ровно различных характеристических чисел с максимальным модулем :

Тогда, полагая в лемме и . Для любого будем иметь:

(24)

где - диагональная матрица с .

Пусть снова - положительный собственный вектор матрицы , соответствующий максимальному характеристическому числу :

(25)

Тогда, полагая

(26)

из (25) и (26) найдем:

(, ) (27)

Последние равенства показывают, что векторы , определяемые из (26), являются собственными векторами матрицы для характеристических чисел .

Из (24) следует, что не только , но и каждое из характеристических чисел матрицы является простым. Поэтому собственные векторы , а значит, и матрицы определяются с точностью до скалярных множителей. Для однозначного определения матриц мы будем выбирать первые диагональные элементы этих матриц равными единице. Тогда и .

Далее, из (24) следует:

Отсюда аналогично предыдущему заключаем, что вектор

есть собственный вектор матрицы , соответствующий характеристическому числу .

Поэтому совпадает с одним из чисел , а матрица - с соответствующей матрицей , т. е. при некоторых

, ,

Таким образом, числа соответствующие диагональные матрицы , образуют две изоморфные между собой мультипликативные абелевы группы.

В каждой конечной группе, состоящей из различных элементов, -я степень любого элемента равна единице группы. Поэтому - корни -й степени из единицы. Так как существует всего различных корней из единицы и , то

(,) (28)

() (29)

Числа образуют полную систему корней уравнения (4).

В соответствии с (28) будем иметь

(;) (30)

Теперь равенство (24) нам дает (при ):

Отсюда следует, что матрица при умножении на переходит в подобную матрицу, и, следовательно, вся система характеристических чисел матрицы при умножении на переходит в самое себя. Далее

поэтому все диагональные элементы в - корни -й степени из единицы. Перестановкой рядов в (и соответственно в ) можно добиться того, чтобы матрица имела следующий квазидиагональный вид:

(32)

где - единичные матрицы, а

( - целое; ; ).

Очевидно, что .

Записывая в блочном виде в (соответствии с (32))

(33)

мы равенство (31) заменим системой равенств

( ,). (34)

Отсюда при любых и либо , либо .

Возьмем . Поскольку все матрицы одновременно обратиться в нуль, то одно из чисел () должно равняться . Это возможно лишь при . Тогда и . Полагая в (34) , аналогично найдем, что и что и т. д. В результате получим:

При этом . Но тогда при в правых частях равенства (34) стоят множители

Одно из этих чисел должно равняться . Это возможно лишь, когда и и, следовательно, .

Таким образом,

и матрица имеет вид (5).

Теорема Фробениуса доказана полностью.

5. Сделаем несколько замечаний к теореме Фробениуса.

Замечание 1. При доказательстве теоремы Фробениуса мы попутно установили, что для неразложимой матрицы , имеющей максимальное характеристическое число , присоединенная матрица при положительна:

, (35)

т.е.

, (35’)

где - алгебраическое дополнение элемента в определителе .

Рассмотрим теперь приведенную присоединенную матрицу (см. гл. IV, § 6)

где - наибольший общий делитель (со старшим коэффициентом единица) всех многочленов . При этом из (35') следует, что . Все корни многочлена являются характеристическими числами, отличными от . Поэтому все корни либо комплексны, либо вещественны, но меньше . Отсюда , что в соединении с (35) дает:

(36)

Замечание 2. Неравенства (35') позволяют определить границы для величины максимального характеристического числа .

Введем обозначения

, ,

Тогда для неразложимой матрицы

, (37)

причем знак равенства слева или справа от имеет место лишь при , т. е. когда все «строчные суммы» равны между собой.

Действительно, прибавим к последнему столбцу характеристического определителя

все предыдущие столбцы и разложим после этого определитель по элементам последнего столбца. Получим:

Отсюда в силу (35') вытекает неравенство (37).

Замечание 3. Неразложимая матрица не может иметь двух линейно независимых неотрицательных собственных векторов. Действительно, пусть помимо положительного собственного вектора , соответствующего максимальному характеристическому числу , матрица имеет еще собственный вектор (линейно независимый от ) для характеристического числа :