2.3.2. Метод кусочной аппроксимации

Существуют различные приближенные приемы моделирования СВ: численное решение уравнения  относительно  при использовании метода нелинейного преобразования, обратного функции распределения; замена непрерывных распределений соответствующими дискретными распределениями, для которых можно указать достаточно простые моделирующие алгоритмы и другие приёмы. Среди них универсальным и наиболее простым является метод кусочной аппроксимации [4].

Сущность этого метода состоит в следующем. Пусть требуется получить СВ  с функцией плотности . Предположим, что область возможных значений  СВ  ограничена  интервалом  (неограниченное распределение можно приближенно заменить ограниченным). Разобьем интервал  на  достаточно малых интервалов , , , , так, чтобы распределение заданной СВ в пределах этих интервалов можно было довольно точно аппроксимировать каким-нибудь простым распределением (рис. 2.3), например, равномерным, трапецеидальным и т. д. В дальнейшем рассмотрим кусочную аппроксимацию равномерным распределением.

Рис. 2.3. Кусочная аппроксимация кривой плотности вероятности

 

Пусть  - вероятность попадания СВ  в каждый из интервалов . Получать реализации величины  с кусочно-равномерным распределением можно, очевидно, в соответствии со следующей схемой преобразования случайных чисел: 1) случайным образом с вероятностью  выбирается интервал ;  2) формируется реализация  СВ, равномерно  распределенной  в  интервале  ; 3) искомая реализация    получается по формуле

.

Случайный выбор интервала  с вероятностью  означает, по существу, моделирование дискретной СВ, принимающей  значений , , , , с вероятностью  каждое, что можно сделать достаточно просто. Интервал  разбивается на  интервалов , , , , длиной = каждый. Из датчика случайных, равномерно распределенных в интервале  чисел выбирается некоторая реализация . Путем последовательного сравнения  с  определяется тот интервал , в котором находится .

B основу этого процесса положен очевидный факт: вероятность попадания  равномерно  распределенной в интервале  СВ в некоторый подынтервал  равна длине этого подынтервала. Рассмотренный  выше  процесс  представляет  интерес не только как составной элемент метода кусочной аппроксимации, он широко используется в качестве алгоритма для моделирования дискретных СВ и случайных событий.

Для моделирования СВ методом кусочной аппроксимации наиболее удобно при машинной реализации выбирать вероятности попадания во все интервалы  одинаковыми , а число  таким, что , где  - целое число, меньше или равное количеству двоичных разрядов чисел, вырабатываемых датчиком случайных чисел. В этом случае величины  должны быть выбраны таким образом, чтобы выполнялось равенство

При равенстве вероятностей  для случайного выбора индекса  можно использовать первые  разрядов числа, извлекаемого из датчика равномерно распределенных случайных чисел.

Используя рассмотренный прием, приходим к следующему способу преобразования равномерно распределенных случайных чисел в случайные числа с заданным законом распределения. Из датчика равномерно распределенных в интервале  случайных чисел извлекается пара реализаций , . Первые  разрядов числа  используются для нахождения адресов ячеек, в которых хранятся величины  и , a затем по формуле  получается реализация  СВ  с заданным законом распределения. Такой алгоритм является довольно экономичным по количеству требуемых операций, которое не зависит от числа , т. е. не зависит от точности кусочной аппроксимации. Однако с увеличением точности аппроксимации возрастает количество ячеек памяти, требуемое для хранения величин , , что является недостатком рассмотренного метода при больших значениях .