3.4.2. Модели авторегрессии-скользящего среднего

Стохастический линейный процесс можно представить как выходной сигнал линейного фильтра, на вход которого поступает белый шум  (рис. 3.10)

,                (3.22)

где  - линейный оператор, называемый передаточной функцией фильтра [2].

Последовательность , образованная весами, теоретически может быть конечной или бесконечной. Если эта последовательность (конечная или бесконечная) сходящаяся, фильтр называется устойчивым, а процесс  будет стационарным.

Рис. 3.10. Представление временного ряда с помощью линейного фильтра

 

Модель авторегрессии (3.20) выражает отсчет  процесса в виде конечной взвешенной суммы  предыдущих отсчетов процесса  плюс случайный отсчет . Другой тип моделей, имеющий большое значение в описании СП, – это так называемый процесс скользящего среднего. Пусть  линейно зависит от конечного числа  предыдущих отсчетов :

.                           (3.23)

Такой процесс называется процессом скользящего среднего порядка . Заметим, что веса , на которые умножаются , не обязаны давать в сумме единицу или хотя бы быть положительными [2].

Если определить оператор скользящего среднего порядка  как , то модель скользящего среднего можно сжато записать, как . Она содержит  неизвестных параметра: , которые должны на практике оцениваться по наблюдениям.

Для достижения большей гибкости в подгонке моделей к наблюдаемым временным рядам иногда целесообразно объединить в одной модели и авторегрессию, и  скользящее среднее. Это приводит к комбинированной модели авторегрессии - скользящего среднего [2]

                                               (3.24)

или  , в которой имеется  неизвестных параметра: , оцениваемых по наблюдениям.

На практике часто оказывается, что адекватное описание наблюдаемых временных рядов достигается при помощи моделей авторегрессии, скользящего среднего или комбинированной модели, в которых  и  не больше, а часто и меньше 2 [4].