3.5. Методы моделирования случайных процессов

Большой класс СП, имеющих место в информационно-измерительных системах, системах автоматического управления, а также в каналах связи, подверженных воздействию случайных возмущений описывается с помощью ДУ вида

,                                            (3.25)

где  - вектор состояния системы,  - векторный стационарный СП.

При исследовании на ЭВМ системы (3.25) необходимо получать реализации СП. Методы моделирования СВ рассматривались в главе  2.  Ниже приводятся некоторые распространенные на практике методы моделирования гауссовских стационарных СП: метод формирующего фильтра (п. 3.5.1), метод скользящего суммирования (п. 3.5.2) и рекуррентные моделирующие алгоритмы (п. 3.5.3).

При имитации системы (3.25) на ЭВМ осуществляется переход от непрерывной системы к ее дискретной модели. Как правило, используются численные методы, входящие в математическое обеспечение ЭВМ (например, метод Рунге-Кутта и его модификации) [37]. При этом возникают методические ошибки, в том числе и при получении реализаций СП. Величина ошибок определяется выбранным шагом интегрирования .

Для линейных стационарных систем, находящихся под воздействием гауссовских стационарных случайных возмущений, могут быть получены алгоритмы моделирования, лишенные методических ошибок. Эти алгоритмы рассматриваются в п. 3.5.3. Они основаны на методе дискретизации линейных стохастических уравнений . Метод дискретизации дает сравнительно простые и легко реализуемые алгоритмы моделирования гауссовских векторных и скалярных СП с дробно-рациональным спектром высокого порядка. В п. 3.5.4 метод дискретизации применяется для процессов с типовыми КФ. Помимо задач цифрового моделирования алгоритмы дискретизации оказываются полезными при расчетах корреляционных характеристик линейных систем и применении методов оптимальной фильтрации к обработке СП.

В настоящее время разработан ряд методов моделирования гауссовских стационарных СП  с заданными характеристиками: математическим ожиданием , КФ  или спектральной плотностью . При решении задач моделирования в целях удобства зачастую считают математическое ожидание нулевым, а дисперсию  - единичной.

Использование преобразования

позволяет получить процессы с требуемыми значениями этих характеристик. Здесь , . Как известно, любая из функций  или  описывает полностью рассматриваемый класс процессов. Обе характеристики связаны взаимно однозначно преобразованиями Фурье [36]:

,                                                      (3.26)

.                                                   (3.27)

Обычно задача формулируется следующим образом. По известным характеристикам процесса (математическому ожиданию, дисперсии и КФ или спектральной плотности) требуется построить вычислительный алгоритм, позволяющий получать на ЭВМ реализации СП  или последовательностей . В гауссовском случае модель процесса, заданная математическим ожиданием и КФ, является полностью определенной. Шаг дискретизации  может быть не равен шагу интегрирования  системы (3.25).

Известные методы можно разбить на две большие группы: точные (метод рекуррентных алгоритмов дискретизации) и приближенные (методы формирующего фильтра, скользящего суммирования). В точных методах отсутствует методическая ошибка по КФ, т. е. КФ  последовательности  равна дискретным значениям  КФ  моделируемого процесса с непрерывным временем [41].

Для приближенных методов равенство заданных и воспроизводимых на ЭВМ характеристик выдерживается не точно, с некоторой погрешностью [41]. В настоящее время практически отсутствуют работы по анализу погрешностей приближенных методов моделирования, поэтому основным и наиболее надежным способом контроля приближенных алгоритмов является статистическая обработка моделируемых реализаций [7, 28, 35, 39].