3.5.1. Метод формирующего фильтраФормирующим фильтром называют динамическую систему, преобразующую СП вида белого шума в СП с заданными статистическими характеристиками [1, 41]. Белый шум представляет собой стационарный СП с постоянной спектральной плотностью . Его КФ имеет вид , где - дельта-функция Дирака, определяемая соотношениями . Полагаем процесс - гауссовским, нормированным условием , . Чтобы найти передаточную функцию формирующего фильтра , спектральную плотность процесса представляют в виде произведения двух комплексно сопряженных сомножителей: . (3.28) Формирующий фильтр с передаточной функцией должен быть устойчивым. Отметим, что моделируемый процесс является стационарным с заданной спектральной плотностью лишь при . Для дробно-рациональной спектральной плотности функция имеет вид . (3.29) где - полиномы степени . Ей соответствует ДУ, записанное в операторной форме: , . (3.30) От этого уравнения с помощью известных преобразований легко перейти к системе ДУ первого порядка [41]. Стационарный СП может быть представлен первой компонентой -мерного марковского процесса , удовлетворяющего уравнению . (3.31) Если , , то матрица и вектор равны , , (3.32) где , , . (3.33) Процесс - гауссовский с нулевым средним. После окончания переходного процесса в уравнении (3.31) корреляционная матрица , установившегося стационарного процесса находится из уравнения: . (3.34) Белый шум с бесконечно большой дисперсией является абстрактным физически нереализуемым процессом. Для моделирования формирующего фильтра на ЭВМ разработаны различные способы, требующие предварительных вычислений [41]. Приведем приближенный и достаточно простой метод интегрирования на цифровой ЭВМ уравнений формирующего фильтра [7, 41]. На ЭВМ моделируется дискретный белый шум ~, - некоррелированы. Рассмотрим ступенчатый процесс с шагом , порождаемый дискретным белым шумом . Спектральная плотность процесса равна . При и фиксированном диапазоне частот функция стремится к постоянной спектральной плотности, причем максимальное по отклонение достигается на конце промежутка при . Относительная погрешность в имитации процессом свойств белого шума характеризуется величиной , (3.35) где - заданное значение погрешности. Из неравенства (3.35) получаем неравенство , позволяющее выбрать величину . Величина определяет тот частотный диапазон, в пределах которого необходимо воспроизводить спектральную плотность моделируемого процесса. Значение находится из условия , где - заданная малая величина. При этом диапазон частот должен перекрывать полосу пропускания системы, на вход которой подается процесс . Уравнение формирующего фильтра при моделировании на ЭВМ, получается из формулы (3.30) при и имеет вид , (3.36) где - шаг интегрирования ДУ формирующего фильтра. При моделировании на ЭВМ от этого уравнения следует перейти к системе ДУ первого порядка. Векторному уравнению (3.31) соответствует уравнение . (3.37) Начальные условия задаются такими, чтобы можно было исключить переходный процесс: ~, - корреляционная матрица, определяемая из уравнения (3.34). При нулевых начальных условиях следует отбросить начальный отрезок реализации длиной . Для процессов с типовыми нормированными КФ (см. примеры в п. 3.5.3 и 3.5.4) приведены расчеты, показывающие, что величина приближенно равна , где - интервал корреляции процесса. Величина определяется условием , где в случае неоднозначности в качестве берется наибольший из корней уравнения [41]. Примеры применения метода формирующего фильтра для процессов с типовыми характеристиками приведены в п. 3.5.4. При малых КФ процессов (3.31) и (3.37), а также (3.30) и (3.36) приближенно равны. При методическая ошибка стремится к нулю. Отметим, что при интегрировании системы ДУ методом Рунге-Кутта на каждом шаге несколько раз вычисляются правые части. Составляя программы, следует предусмотреть, чтобы при вычислении правых частей использовалась одна и та же для данного шага интегрирования случайная величина . Приведенный метод, основанный на моделировании посредством цифровой ЭВМ формирующего фильтра, обладает методической ошибкой, величина которой уменьшается при .
|