3.5.1. Метод формирующего фильтра

Формирующим фильтром называют динамическую систему, преобразующую СП  вида белого шума в СП  с заданными статистическими характеристиками [1, 41]. Белый шум представляет собой стационарный СП с постоянной спектральной плотностью . Его КФ имеет вид

,

где  - дельта-функция Дирака, определяемая соотношениями

    .

Полагаем процесс  - гауссовским, нормированным условием , . Чтобы найти передаточную функцию формирующего фильтра , спектральную плотность процесса  представляют в виде произведения двух комплексно сопряженных сомножителей:

.                                             (3.28)

Формирующий фильтр с передаточной функцией  должен быть устойчивым. Отметим, что моделируемый процесс является стационарным с заданной спектральной плотностью лишь при . Для дробно-рациональной спектральной плотности  функция  имеет вид

.                                                        (3.29)

где  - полиномы степени . Ей соответствует ДУ, записанное в операторной форме:

,   .                (3.30)

От этого уравнения с помощью известных преобразований легко перейти к системе ДУ первого порядка [41]. Стационарный СП  может быть представлен первой компонентой -мерного марковского процесса , удовлетворяющего уравнению

.                                                                 (3.31)

Если  ,  ,  то матрица  и вектор  равны

,      ,                               (3.32)

где  ,

,   .                                                      (3.33)

Процесс  - гауссовский с нулевым средним. После окончания переходного процесса в уравнении (3.31) корреляционная матрица , установившегося стационарного процесса находится из уравнения:

.                                                   (3.34)

Белый шум с бесконечно большой дисперсией является абстрактным физически нереализуемым процессом. Для моделирования формирующего фильтра на ЭВМ разработаны различные способы, требующие предварительных вычислений [41].

Приведем приближенный и достаточно простой метод интегрирования на цифровой ЭВМ уравнений формирующего фильтра [7, 41]. На ЭВМ моделируется дискретный белый шум ~,  - некоррелированы. Рассмотрим ступенчатый процесс  с шагом , порождаемый дискретным белым шумом

.

Спектральная плотность процесса  равна

.

При  и фиксированном диапазоне частот  функция  стремится к постоянной спектральной плотности, причем максимальное по  отклонение достигается на конце промежутка при . Относительная погрешность в имитации процессом  свойств белого шума характеризуется величиной

,                                                                        (3.35)

где  - заданное значение погрешности. Из неравенства (3.35) получаем неравенство  , позволяющее выбрать величину .

Величина  определяет тот частотный диапазон, в пределах которого необходимо воспроизводить спектральную плотность  моделируемого процесса. Значение  находится из условия

,

где   - заданная малая величина. При этом диапазон частот  должен перекрывать полосу пропускания системы, на вход которой подается процесс .

Уравнение формирующего фильтра при моделировании на ЭВМ, получается из формулы (3.30) при  и имеет вид

,                                            (3.36)

где  - шаг интегрирования ДУ формирующего фильтра. При моделировании на ЭВМ от этого уравнения следует перейти к системе ДУ первого порядка.

Векторному уравнению (3.31) соответствует уравнение

.                                                            (3.37)

Начальные условия задаются такими, чтобы можно было исключить переходный процесс: ~,  - корреляционная матрица, определяемая из уравнения (3.34). При нулевых начальных условиях следует отбросить начальный отрезок реализации длиной . Для процессов с типовыми нормированными КФ  (см. примеры в п. 3.5.3 и 3.5.4) приведены расчеты, показывающие, что величина  приближенно равна  , где  - интервал корреляции процесса. Величина  определяется условием , где в случае неоднозначности в качестве  берется наибольший из корней уравнения [41].

Примеры применения метода формирующего фильтра для процессов с типовыми характеристиками приведены в п. 3.5.4. При малых  КФ процессов (3.31) и (3.37), а также (3.30) и (3.36) приближенно равны. При  методическая ошибка стремится к нулю. Отметим, что при интегрировании системы ДУ методом Рунге-Кутта на каждом шаге несколько раз вычисляются правые части. Составляя программы, следует предусмотреть, чтобы при вычислении правых частей использовалась одна и та же для данного шага интегрирования случайная величина . Приведенный метод, основанный на моделировании посредством цифровой ЭВМ формирующего фильтра, обладает методической ошибкой, величина которой уменьшается при .