4. Моделирование случайных полей

Решение различных задач математического моделирования, возникающих при проектировании телекоммуникационных систем, а также во многих других областях, приводит к необходимости получения на ЭВМ реализаций многомерных массивов СВ с заданными вероятностными характеристиками – случайных полей. Модели случайных полей используются для имитации фона в оптико-электронных системах, при описании свойств рельефа земной поверхности, для моделирования метеополей, применяются в устройствах фильтрации и кодирования изображений. Типичными примерами применения моделей многомерных случайных полей в системах связи являются: описание фазовых искажений на двумерной сетке время-частота; описание пространственно-временных сигналов в системах связи с несколькими антеннами (MIMO – Multi-Input Multi-Output).

При решении задач обработки случайных полей важным этапом является выбор адекватной модели наблюдений [5, 12, 31]. В настоящее время не существует универсального способа формирования случайных полей с произвольно заданными характеристиками. Поэтому известные модели случайных полей соответствуют реальным случайным полям лишь по ограниченному числу параметров (форма КФ, распределение амплитуд и т.п.) [8, 11, 12, 31, 41]. Ниже рассмотрен ряд известных моделей, которые могут быть использованы для приближенного описания случайных полей при синтезе различных алгоритмов обработки.

Наиболее изученными являются АР модели случайных полей  [5, 20, 31]. Это объясняется тем, что на основе АР уравнений был разработан математический аппарат для моделирования случайных последовательностей (см. главу 3).  Центральное место в его развитии, как и в области обычных одномерных сигналов, отводится теории гауссовских полей. Поскольку в подавляющем большинстве реальных информационных систем данные формируются в виде дискретных массивов, то в первую очередь интерес представляют методы описания дискретных полей. Поэтому ниже рассматриваются случайные поля, заданные на прямоугольных многомерных сетках.

В настоящем пособии при рассмотрении моделей случайных полей используется идея представления спектрально-корреляционных характеристик многомерных сигналов в разделимой по пространственным координатам форме [31]. Это дает возможность использования достижений теории одномерных сигналов, приводя к относительно простым ММ, уже позволившим получить решение ряда задач статистической обработки данных [20].

Эффективным методом решения разнообразных задач обработки сигналов служит спектральный анализ [8, 31, 43].  К сожалению, существует лишь узкий класс так называемых «разделимых» случайных полей на многомерных сетках [31], для которых можно получить полезные для приложений аналитические соотношения. В частности, важнейший класс изотропных случайных полей дискретного аргумента не удается исследовать известными методами спектрального анализа. Это объясняется несоответствием декартовой системы координат в пространстве  точек с целочисленными координатами и естественной для изотропных случайных полей сферической системой координат в .

В данной главе рассматриваются методы математического моделирования случайных полей, приводятся необходимые сведения об их характеристиках, дается обобщение параметрических (неканонических) представлений стационарных СП на случайные поля, исследуются свойства моделей полей и моделирующих алгоритмов.

Задачи моделирования случайных полей относятся к сравнительно новой и еще мало изученной области в теории и практике статистического моделирования. Особую важность здесь приобретает проблема сокращения вычислительных затрат. Объемы вычислений и машинное время ЭВМ резко возрастают с ростом размерности случайного поля, а также с уменьшением шага дискретизации. Модели многомерных случайных полей (скалярных и векторных, гауссовских и негауссовских) теоретически мало изучены [41].