4.1. Моделирование многомерных дискретных случайных полей

Наиболее распространенными в настоящее время являются информационные комплексы, включающие в себя пространственные системы датчиков и цифровую вычислительную технику. Поэтому будем в основном рассматривать случайные поля с дискретными пространственными и временными переменными. Не ограничивая общности, будем считать, что случайные поля заданы на многомерных прямоугольных сетках с единичным шагом. На рис. 4.1, а  и  4.1, б изображены двумерная и трехмерная сетки. В общем случае случайное поле задано в узлах -мерной сетки .

В зависимости от физической природы значения отсчетов случайного поля могут быть скалярными (например, яркость монохроматического изображения) или векторными (поле скоростей, цветные изображения, поле смещений). Если обозначить через  значение отсчета случайного поля в узле (пикселе) , то случайное поле есть совокупность этих значений на сетке: .

Если  данные представляют собой временную последовательность сечений случайного поля (кадров), то иногда удобно считать эту последовательность одним случайным полем, увеличив размерность сетки на единицу. Например, последовательность случайных полей на плоскости (рис. 4.1, а) можно рассматривать как одно случайное поле на трехмерной сетке (рис. 4.1, б).

 

Если  - некоторая физическая величина в точке , то совокупность отсчетов  представляет собой реализацию случайного поля , являющегося случайной функцией  двух пространственных переменных и СВ . Рассматривая подобные  процессы развивающимися во времени, к пространственным переменным  нужно добавить еще и временную переменную . При этом поле  становится трехмерным. Трехмерный массив изменяющихся во времени данных  дает пример четырехмерного поля и т.д.

Если требуется временную переменную выделить особо, то будем ее записывать сверху: . Такое случайное поле задано на прямом произведении  сеток  и I, где I – множество значений временного индекса. Сечение , т. е. совокупность отсчетов случайного поля при фиксированном значении временного индекса i, называется -м кадром случайного поля. Каждый кадр задан на сетке . Например, на рис. 4.1, б изображено три двумерных кадра.

Для описания случайного поля, как и любой другой системы СВ, можно задать совместную функцию распределения вероятностей его элементов  или совместную ПРВ . Однако изображение обычно состоит из очень большого количества элементов (тысячи и миллионы), поэтому ПРВ при таком количестве переменных становится очень сложной и требуются другие, менее громоздкие методы описания случайных полей.