4.1.1. Алгоритмы формирования дискретных случайных полейПо своему строению случайные поля значительно сложнее СП. Во‑первых, реализации случайного поля являются функциями нескольких переменных, теория которых принципиально сложнее теории функций одной переменной. Во-вторых, значительно усложняется понятие марковости. СП можно представить развивающимся во времени, математическим выражением такого развития и является модель (3.1). Для марковских последовательностей временной интервал может быть разбит любой точкой i на условно независимые прошлое и будущее . Однако случайное поле определено на n-мерной области W, для геометрического разбиения которого на две части и требуется, по меньшей мере, -мерная область . Свойство марковости случайного поля состоит в том, что для любого множества (из некоторого класса множеств) СВ, входящие в , условно независимы от СВ, входящих в , при известных значениях . Назвать , и прошлым, настоящим и будущим можно весьма условно. Тем не менее марковское свойство позволяет представить случайное поле также формирующимся во времени от через к , причём с течением времени перемещается по W. Например, если в качестве брать строки двумерной сетки W, то поле можно представить формирующимся построчно [20]. Дальнейшее развитие этой идеи позволяет обобщить АР модели случайных последовательностей на случайные поля. В связи с этим рассмотрим в общем виде задачу рекуррентного формирования случайного поля на -мерной прямоугольной сетке . При этом предполагается, во-первых, существование некоторой процедуры последовательного перебора точек , т.е. правила линейного упорядочения точек , на основе которого можно сказать, что элемент предшествует элементу или наоборот. Во-вторых, должен быть задан алгоритм, определяющий, каким образом очередное значение случайного поля может быть найдено на основе ранее вычисленных значений , где - некоторая область индексов , предшествующих очередному элементу . Такую область конечных размеров обычно называют областью локальных состояний [8, 12, 31]. Наконец, для формирования случайного поля с определенными вероятностными характеристиками на каждом шаге рекуррентных вычислений функция должна включать в качестве аргумента совокупность вспомогательных СВ. Таким образом, представление случайного поля на основе рекуррентной процедуры должно иметь следующий вид , (4.1) где - области элементов , на которых уже определены предыдущие значения случайного поля , вообще говоря, нелинейные скалярные или векторные функции двух тензорных аргументов. Наиболее простым частным случаем (4.1) является линейное стохастическое уравнение (4.2) с белым гауссовским СП , соответствующее известному уравнению авторегрессии - скользящего среднего [2] для СП. Однако в отличие от своего одномерного аналога, свойства случайного поля , порождаемого (4.2), в настоящее время изучены не полностью даже для моделей (4.2) с постоянными коэффициентами и не изменяющимся видом областей и : . (4.3) Если порядок формирования случайной последовательности обычно соответствует наблюдаемым во времени значениям, то порядок формирования случайного поля требует дополнительного определения. Для этого нужно линейно упорядочить узлы сетки , тогда про любые два элемента поля можно сказать, что один из них предшествует другому. Если предшествует , то будем отмечать это как , т. е. номер элемента меньше номера при данной развертке. Существует множество вариантов такого упорядочения. В двумерном случае чаще всего применяются пилообразная и треугольная развертки (рис. 4.2).
В результате развертки поле преобразуется в случайную последовательность. Предположим, что она является марковской порядка s, т. е. условная ПРВ любого относительно всех предшествующих ему элементов зависит только от элементов некоторого конечного отрезка . Множество называется глобальным состоянием. В двумерном случае оно при пилообразной (и треугольной) развертке включает в себя несколько последних строк и показано на рис. 4.3. Следовательно, можно представить в каузальном виде как функцию элементов глобального состояния и возмущения : . (4.4) Полученное выражение представляет АР модель случайного поля. Однако использовать (4.4) для представления полей на сетках больших размеров трудно, а для бесконечных сеток – невозможно ввиду большого или даже бесконечного числа аргументов функций . Преодолеть эту трудность позволяет то обстоятельство, что ПРВ часто зависит не от всего глобального состояния , а только от некоторой его части , называющейся локальным состоянием и включающей в себя только достаточно близкие к элементы поля, не упреждающие относительно данной развертки. На рис. 4.3 область, соответствующая локальному состоянию , обозначена двойной штриховкой. В результате поле X может быть представлено АР моделью , (4.5) которая во многих случаях может быть приемлема для решения прикладных задач. Конечно, может оказаться, что даже область локального состояния слишком велика, и возникают значительные технические трудности при имитации или обработке полей. В таких ситуациях можно уменьшить до приемлемых размеров, используя полученную модель (4.5) как некоторое приближение к реальным физическим объектам.
|