5.2.3. Виды самоподобных случайных последовательностейПростым примером самоподобных случайных последовательностей может служить случайное движение точки, начиная с некоторого момента времени , когда она находилась в нуле. В каждый последующий момент времени ее координата меняется на произвольную случайную добавку . Тогда модель движения можно описать как , т. е. текущая координата определяется на основе предыдущей плюс случайное смещение. Если СВ подчиняется нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией , то формируемый процесс будет представлять собой броуновское движение частицы (стохастический винеровский процесс). Рассмотрим координату частицы в момент времени . Величина будет состоять из случайных добавок , в предшествующие моменты времени, т. е. . Следовательно, математическое ожидание координаты частицы , а дисперсия . Таким образом, при математическое ожидание СВ равно нулю, а дисперсия стремится к бесконечности. Кроме того, для любых двух моментов времени и , дисперсия разности . Так как процесс представляет собой суммы гауссовских СВ и имеет известную дисперсию для каждого момента времени , то можно записать ПРВ данной величины в виде , где - координата или приращение координаты броуновской частицы (т. к. данный процесс в момент времени равен нулю); - интервал времени наблюдения. Для того чтобы процесс обладал свойством самоподобия, т. е. являлся фракталом, достаточно значение дисперсии заменить на , где - параметр Херста. Такая замена приводит к тому, что отсчеты стохастического броуновского движения становятся коррелированными между собой, т. е. . Следовательно, можно записать, что . Следовательно, корреляция приращений и может быть определена следующим выражением В дискретном случае, когда величины и заменяются на и соответственно, получаем следующую КФ для приращений фрактального броуновского движения . (5.15) Последовательность случайных приращений с данной КФ называется фрактальным гауссовским шумом [25]. Причем коэффициент корреляции при и определяет долговременную зависимость между отсчетами СП. КФ отличается от гауссовских и экспоненциальных тем, что предполагает спад в корреляции при увеличении заметно более медленный, что согласуется с результатами наблюдений интенсивностей в реальных трафиках с пакетной коммутацией. Кроме того, она полностью описывается только двумя параметрами – дисперсией и показателем . Одной из характеристик самоподобия является величина выбросов процесса. Для самоподобных процессов характер выбросов сохраняется при рассмотрении процесса в различных масштабах времени. Это означает, что если вы будете записывать нагрузку на каком-либо элементе сети с дискретностью, например, 10 миллисекунд, то, рассматривая график изменения нагрузки во времени на интервалах 10 секунд, 10 минут или 10 часов, вы не заметите существенных различий в поведении кривой. В этом смысле самоподобие графиков может быть охарактеризовано соотношением , где - коэффициент самоподобия непрерывных процессов.
|