5.2.2. Самоподобные (фрактальные) случайные процессыПредставленный пример фрактала (кривая Коха) относится к классу детерминированных фракталов, т. е. когда объект непосредственно составляется из своих малых копий. В теории телетрафика для описания поведения величины нагрузки в сетях связи с пакетной коммутацией применяется класс случайных (стохастических) фракталов. В этом случае свойство самоподобия (масштабной инвариантности) наблюдается лишь «в среднем», т. е. подобными являются не сами отсчеты сигнала, а, например, его КФ или ПРВ в разных временных масштабах. Три характерные особенности самоподобных процессов выражены в медленном убывании дисперсии, долгосрочной зависимости и флуктуационном характере спектра мощности таких процессов [25]. Рассмотрим дискретную случайную последовательность отсчетов:
где
будет иметь КФ
т. е. дисперсия агрегированных процессов – средних выборок – уменьшается медленнее, чем величина, обратная размеру выборки. В результате в самоподобных процессах имеет место явление долгосрочной зависимости, которое приводит к расходимости КФ процесса:
Наконец энергетический спектр самоподобных процессов описывается выражением
Собственно эти соотношения и определяют название самоподобного процесса: корреляционные свойства такого процесса, усредненного на различных временных интервалах, остаются неизменными. Важнейшим параметром, характеризующим «степень» самоподобия СП, является параметр Хёрста. Для выборочного случайного набора
выборочную дисперсию
и интегральное отклонение
Определим изменчивость СП на интервале
Хёрстом было показано, что для большинства естественных процессов при больших значениях или иначе
Величина
Степень самоподобия процесса можно оценить другим способом: параметр Херста можно определить путем построения графика отношения R/S-метод дает лишь приближенное значение показателя Херста, поэтому для его вычисления целесообразно пользоваться несколькими методиками и сравнения полученных результатов. Рассмотрим метод определения величины Для самоподобного СП
где
Из последнего выражения следует, что множество случайных точек
|