5.2.1. Введение во фракталы

Английские военные топографы еще до войны заметили, что длина побережья Великобритании зависит от длины линейки, которой ее измеряют. Аналогичная зависимость определяет длину некоторых рек, побережье многих островов, путь, проходимый частицей при броуновском движении, и многое другое.  В качестве наглядного примера можно привести так называемый «остров Коха». На рис. 5.5 показано, как можно построить такую фигуру [24].

Рис. 5.5. Схема построения острова Коха

 

На первом шаге берем обычный равносторонний треугольник (рис. 5.5). Потом на каждой стороне достраиваем по треугольнику, сторона которого в три, а значит, площадь в девять раз меньше, чем у исходного треугольника и так далее. То, что получится после бесконечного количества таких шагов, называется островом Коха. При этом длина его побережья бесконечна, поскольку на втором шаге периметр фигуры увеличится в 4/3 раза, на третьем - еще в 4/3 и т. д. Это происходит потому, что каждый отрезок мы заменили ломаной, длина которой в 4/3 раза больше. Таким образом, периметр данной фигуры . При этом с помощью формул геометрической прогрессии можно убедиться, что площадь острова Коха конечна.

Теперь представим себе, что мы решили измерить периметр острова Коха, пользуясь линейкой определенной длины. При этом мы, конечно, будем заменять сложную изрезанную береговую линию ломаной со звеньями, не меньшими, чем наша линейка, как это всегда делают географы. Измеренный периметр будет зависеть от длины линейки. Это кажется совершенно неожиданным. Но действительно, чем меньше длина линейки, тем больше измеренная длина побережья.

Остров Коха обладает еще одной интересной особенностью. Допустим, что мы фотографируем этот остров в океане из космоса. Мы можем фотографировать с любым увеличением, но часть побережья будет тем меньше, чем больше увеличение и мелкие детали в крупном масштабе, естественно, будут теряться. Типичная картина, которую мы увидим, показана на рис. 5.6. В крупном масштабе видим большой зубец и несколько маленьких. Увеличим маленький зубчик. То есть, по существу, увеличим маленький прямоугольник до размеров первоначального. Опять выделим маленький прямоугольник, опять увеличим и опять увидим то же самое и так до бесконечности. Это свойство, выглядеть в любом, сколь угодно мелком масштабе примерно одинаково, называется масштабной инвариантностью, а множества, которые им обладают - фракталами [24]. Можно спросить, как же характеризовать фракталы, если размеры становятся какими-то зыбкими, ненадежными и начинают зависеть от размеров линейки?

Рис. 5.6. Пример фрактальной масштабной инвариантности

 

На это математики могут ответить просто и остроумно: «Важна не сама длина, а то, как она зависит от размеров линейки, т. е. важно некое число, называемое фрактальной размерностью». Для отрезка размерность равна 1, для квадрата - 2, для куба - 3. Для фракталов размерность - дробное число. Отсюда и само название «фрактал», происходящее от английского «fractal» - дробный, неполный, частичный. Например, для острова Коха оно лежит между 1 и 2 - полоса в двумерном пространстве, т. е. уже не обычная кривая, но еще не плоскость (дробная размерность) [24].