5.3.2. Установившийся режим обслуживания. Формулы Эрланга

При включении СМО в работу вначале имеет место переходный (неустановившийся) процесс, а затем система переходит в установившийся  режим работы, вероятностные характеристики которого уже не зависят от времени, т.е. для любой системы с отказами существует предельный режим при  все вероятности  стремятся к постоянным пределам , а все их производные стремятся к нулю. Таким образом, из системы ДУ (5.28) получим систему алгебраических уравнений:

                             (5.29)

К этим уравнениям необходимо добавить условие   .

Разрешим систему (5.29) относительно неизвестных .  Из первого уравнения имеем  .   Из второго   и вообще, для любого   выполняется равенство 

.                                                  (5.30)

Введем обозначение   и назовем эту величину приведенной плотностью заявок. Это есть не что иное, как среднее число заявок, приходящееся на среднее время обслуживания одной заявки.

Действительно,   ,  где  - среднее время обслуживания одной заявки.  Таким образом,

.                                                              (5.31)

Данная формула выражает все вероятности  через .  Чтобы выразить их непосредственно через  и , воспользуемся условием . Подставив в него (5.31), получим

,                                         

откуда                                   .                                                                                         (5.32)

Подставляя (5.32) в (5.31), получим 

.                                                           (5.33)

Формулы (5.33) называются формулами Эрланга.  Они дают предельный закон распределения числа занятых каналов в зависимости от характеристик потока заявок и производительности СМО. Полагая в формуле (5.33) , получим  вероятность отказа (поступившая заявка находит все каналы занятыми):

.                                                                (5.34)

В частности, для одноканальной системы

,                                                                   (5.35)

а относительная пропускная способность

.                                                               (5.36)

Формулы Эрланга (5.33) и их следствия (5.34)-(5.36)  выведены для случая показательного распределения времени обслуживания, Однако эти формулы остаются справедливыми и при любом законе распределения времени обслуживания, лишь бы входной поток был простейшим.

Пример 5.1. Автоматическая телефонная станция имеет 4 линии связи. На станцию поступает простейший поток заявок с плотностью  (вызова в минуту). Вызов, поступивший в момент, когда все линии заняты, получает отказ. Средняя длительность разговора 2 минуты. Найти: а) вероятность отказа; б) среднюю долю времени, в течение которой телефонная станция вообще не загружена.

Решение.   Имеем  [мин];  [разг/мин];  .

а)  по формуле (5.34) получаем ;

б)  по формуле (5.32) имеем .

Несмотря на то, что формулы Эрланга в точности справедливы только при простейшем потоке заявок, ими можно с известным приближением пользоваться и в случае, когда поток заявок отличается от простейшего, (например, является стационарным потоком с ограниченным последействием). Расчеты показывают, что замена произвольного стационарного потока с не очень большим последействием простейшим потоком той же плотности ,. как правило, мало влияет на характеристики пропускной способности системы.

Наконец, можно заметить, что формулами  Эрланга можно приближенно  пользоваться и в случае, когда СМО допускает ожидание  заявки  в очереди, но когда срок ожидания мал  по  сравнению  со  средним временем  обслуживания одной заявки. Плотность потока заявок может быть выбрана такой, что при регулярном следовании заявок одна за другой через определенные интервалы и при точно фиксированном времени обслуживания номинальная пропускная способность системы достаточна для того, чтобы обслужить все без исключения заявки. Снижение пропускной способности происходит из-за наличия случайных сгущений и разрежений в потоке заявок, которые нельзя предвидеть заранее.