<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


5.3.3. Система массового обслуживания с ожиданием

Как было упомянуто выше СМО с ожиданием подразумевает наличие буфера с очередью из заявок, заставших все каналы занятыми и ждущих освобождения одного из каналов. Если время ожидания заявки в очереди ничем не ограничено, то система называется «чистой системой с ожиданием». Если оно ограничено какими-то условиями, то система называется «системой смешанного типа». Это промежуточный случай между чистой системой с отказами и чистой системой с ожиданием.

Для практики наибольший интерес представляют именно системы смешанного типа. Ограничения, наложенные на ожидание, могут быть различного типа. Часто бывает, что ограничение накладывается на время ожидания заявки в очереди; считается, что оно ограничено сверху  каким-то сроком , который может быть как строго определенным, так и случайным. При этом ограничивается только срок ожидания в очереди, а начатое обслуживание доводится до конца, независимо от того, сколько времени продолжалось ожидание (например, в системах с коммутацией каналов после установления соединения между абонентами процесс разговора уже не прерывается). В других задачах естественнее наложить ограничение не на время ожидания в очереди, а на общее время пребывания заявки в системе (например, при передаче SMS-сообщений, если после определенного количества попыток сообщение не доходит до адресата оно аннулируется). Наконец, можно рассмотреть и такую смешанную систему (она ближе всего к типу торговых, предприятий, торгующих предметами не первой необходимости), когда заявка становится в очередь только в том  случае, если длина очереди не слишком велика. Здесь ограничение накладывается на число заявок в очереди (или на размер буфера , рис. 5.13).

 

Рис. 5.13. Логическая схема односерверной СМО

 

В системах с ожиданием существенную роль играет так называемая «дисциплина очереди». Ожидающие заявки могут вызываться на обслуживание как в порядке очереди (раньше прибывший раньше и обслуживается), так и в случайном, неорганизованном порядке. Существуют СМО «с приоритетами», где некоторые заявки обслуживаются предпочтительно перед другими («генералы и полковники вне очереди»). Каждый тип системы с ожиданием имеет свои особенности и свою математическую теорию.

Здесь мы остановимся только на простейшем случае смешанной системы, являющемся естественным обобщением задачи Эрланга для системы с отказами. Для этого случая мы выведем ДУ, аналогичные уравнениям Эрланга, и формулы для вероятностей состояний в установившемся режиме, аналогичные формулам Эрланга.

Рассмотрим смешанную СМО  с  каналами при следующих условиях [6]. На вход системы поступает простейший поток  заявок  с  плотностью . Время  обслуживания одной заявки  - показательное, с параметром . Заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ожидает обслуживания; время ожидания ограничено некоторым сроком ; если до истечения этого срока заявка не будет принята к обслуживанию, то она покидает очередь и остается необслуженной. Срок ожидания  будем считать случайным и распределенным по показательному закону

, ,

где параметр  - величина, обратная среднему сроку ожидания: .

Параметр  полностью аналогичен параметрам  и  потока заявок и «потока освобождений». Его можно интерпретировать, как плотность «потока уходов» заявки, стоящей в очереди. Действительно, представим себе заявку, которая только и делает, что становится в очередь и ждет в ней, пока не кончится срок ожидания , после чего уходит и сразу же снова становится в очередь. Тогда «поток уходов» такой заявки из очереди будет иметь плотность . Очевидно, при  система смешанного типа превращается в чистую систему с отказами; при  она превращается в чистую систему с ожиданием.

Заметим, что при показательном законе распределения срока ожидания пропускная способность системы не зависит от того, обслуживаются ли заявки в порядке очереди или в случайном порядке: для каждой заявки закон распределения оставшегося времени ожидания не зависит от того, сколько времени заявка уже стояла в очереди.

Благодаря допущению о пуассоновском характере всех потоков событий, приводящих к изменениям состояний системы, процесс, протекающий в ней, будет марковским. Запишем уравнения для вероятностей состояний системы. Для этого, прежде всего, перечислим эти состояния. Будем их нумеровать не по числу занятых каналов, а по числу связанных с системой заявок. Заявку будем называть «связанной с системой», если она либо находится в состоянии обслуживания, либо ожидает очереди.

Возможные состояния системы будут (рис. 5.14):

 - ни один канал не занят, очереди нет;

 - занят ровно один канал, очереди нет;

……………………………………………….

 - занято ровно  каналов, очереди нет;

……………………………………………….

 - заняты все  каналов, очереди нет;

 - заняты все  каналов, одна заявка стоит в очереди;

……………………………………………….

 - заняты все  каналов,  заявок стоят в очереди.

 

Рис. 5.14. Диаграмма возможных переходов для СМО с очередью

 

Число заявок , стоящих в очереди, в наших условиях может быть сколь угодно большим. Таким образом, система  имеет бесконечное (хотя и счетное) множество состояний. Соответственно, количество ДУ, описывающих ее, тоже будет бесконечным.

Очевидно, первые  ДУ ничем не будут отличаться от соответствующих уравнений Эрланга (5.28):

              (5.37)

Отличие новых  уравнений  от  уравнений Эрланга начнется при . Действительно, в состояние  система  с  отказами может перейти только из состояния ; что касается системы с ожиданием, то она может перейти в состояние  не только из , но и из  (все каналы заняты, одна заявка стоит в очереди).

Составим ДУ для . Зафиксируем момент  и найдем  - вероятность того, что система в момент  будет  в состоянии . Эта вероятность вычисляется как вероятность суммы трех событий:

 - в момент  система уже была в состоянии , а за время  не вышла из него (не пришло ни одной заявки и ни один из каналов не освободился);

 - в момент  система была в состоянии , а за время  перешла в состояние  (пришла одна заявка);

 - в момент  система была в состоянии  (все каналы заняты, одна заявка стоит в очереди); а за время  перешла в  (либо освободился один канал и стоящая в очереди заявка заняла его, либо стоящая в очереди заявка ушла в связи с окончанием срока ожидания).

В итоге имеем:

,

откуда ДУ для состояния  имеет вид

.                    (5.38)

Вычислим теперь  при любом  - вероятность того, что в момент  все  каналов будут заняты и, кроме этого,  заявок будут стоять в очереди. Эта вероятность вновь вычисляется как вероятность суммы трех событий:

 - в момент  система уже была в состоянии , а за время  это состояние не изменилось (значит, ни одной заявки не принято, ни один канал не освободился и ни одна из  стоящих в очереди заявок не ушла);

 - в момент  система была в состоянии , а за время  перешла в состояние  (пришла одна заявка);

 - в момент  система была в состоянии , а за время  перешла в состояние  (для этого либо один из каналов должен освободиться, и тогда одна из  стоящих в очереди заявок займет его, либо одна из стоящих в очереди заявок должна уйти в связи с окончанием срока ожидания).

Следовательно:

откуда ДУ для состояния  имеет вид

                               (5.39)

Таким образом, мы получили для вероятностей состояний  систему бесконечного числа ДУ:

                 (5.40)

Уравнения (5.40) являются естественным обобщением уравнений Эрланга на случай системы смешанного типа с ограниченным временем ожидания. Параметры   в этих уравнениях могут быть как постоянными, так и переменными. При интегрировании системы (5.40) нужно учитывать, что хотя теоретически число возможных состояний системы бесконечно, но на практике вероятности  при возрастании  становятся пренебрежимо малыми, и соответствующие уравнения могут быть отброшены.

Выведем, формулы, аналогичные формулам Эрланга, для вероятностей состояний системы в установившемся режиме обслуживания (при ). Из уравнений (5.40), полагая все  постоянными, а все производные - равными нулю, получим систему алгебраических уравнений:

                                                 (5.41)

К ним необходимо добавить условие   

.                                                                 (5.42)

Найдем решение системы (5.41), для чего применим тот же прием, которым мы пользовались в случае системы с отказами; разрешим первое уравнение относительно , подставим во второе, и т. д. Для любого , как и в случае системы с отказами, получим:

                                                           (5.43)

Далее перейдем к уравнениям  для   и тем же способом получим:  

,            

и вообще при любом 

.                                                           (5.44)

В обе  формулы  (5.43) и  (5.44) в качестве  сомножителя входит вероятность . Определим ее из условия (5.42). Подставляя в него выражения (5.43) и (5.44) для  и , получим

,

откуда имеем

.                                    (5.45)

Преобразуем выражения (5.43), (5.44) и (5.45), вводя в них вместо плотностей  и  «приведенные» плотности:

                                                              (5.46)

Параметры  и  выражают соответственно среднее число заявок и среднее число уходов заявки, стоящей в очереди, приходящиеся на среднее время обслуживания одной заявки.

В новых обозначениях формулы (5.43), (5.44) и (5.45) примут вид:

,                                                  (5.47)

,                                                        (5.48)

.                                             (5.49)

Подставляя (5.49) в (5.47) и (5.48), получим окончательные выражения для вероятностей состояний системы:

,                                  (5.50)

.                                      (5.51)

Зная вероятности всех состояний системы, можно легко определить другие интересующие нас характеристики, в частности, вероятность  того, что заявка покинет систему необслуженной. Определим ее из следующих соображений: при установившемся режиме вероятность  того, что заявка покинет систему необслуженной, есть не что иное, как отношение среднего числа заявок, уходящих из очереди в единицу времени, к среднему числу заявок, поступающих в единицу времени. Найдем среднее число заявок, уходящих из очереди в единицу времени. Для этого сначала вычислим математическое ожидание  числа заявок, находящихся в очереди:

.                        (5.52)

Чтобы получить , нужно  умножить на среднюю «плотность уходов» одной заявки  и разделить на среднюю плотность заявок , т. е. умножить на коэффициент

.

Получим:

.                                    (5.53)

Пропускная способность  системы характеризуется  вероятностью того, что заявка, попавшая в систему, будет обслужена:

.

Очевидно, что пропускная способность системы с ожиданием, при тех же  и , будет  всегда выше, чем пропускная  способность системы с отказами: в случае наличия ожидания необслуженными уходят не все заявки, заставшие  каналов занятыми, а только некоторые. Пропускная способность увеличивается при увеличении  среднего времени ожидания  . Непосредственное использование формул (5.50), (5.51) и (5.53) несколько затруднено тем, что в них входят бесконечные суммы. Однако члены этих сумм быстро убывают.

Посмотрим, во что превратятся формулы (5.50) и (5.51) при  и . Очевидно, что при  система с ожиданием должна превратиться в систему с отказами (заявка мгновенно уходит из очереди). Действительно, при  формулы (5.51) дадут нули, а формулы (5.50) превратятся в формулы Эрланга для системы с отказами (5.29).

Рассмотрим другой крайний случай: чистую систему с ожиданием (). В такой системе заявки вообще не уходят из очереди, и поэтому : каждая заявка рано или поздно дождется обслуживания. Зато в чистой системе с ожиданием не всегда имеется предельный стационарный режим при . Можно доказать, что такой режим существует только при , т. е. когда среднее число заявок, приходящееся на время обслуживания одной заявки, не выходит за пределы возможностей -канальной системы. Если же , число заявок, стоящих в очереди, будет с течением времени неограниченно возрастать.

Предположим, что , и найдем предельные вероятности  для чистой системы с ожиданием. Для этого, положив в формулах (5.49), (5.50) и (5.51) , получим

,

или, суммируя  прогрессию  (что возможно только  при ), получим

.                                                             (5.54)

Отсюда, пользуясь формулами (5.47) и (5.48), найдем

,                                        (5.55)

и аналогично для

.                                                        (5.56)

Среднее число заявок, находящихся в очереди; определяется  из формулы (5.52) при :

                                                               (5.57)

Пример 5.2. На вход трехканальной системы с неограниченным временем ожидания поступает простейший поток заявок с плотностью  [заявки/час]. Среднее время обслуживания одной заявки  мин. Определить, существует ли установившийся режим обслуживания; если да, то найти вероятности , вероятность  наличия очереди  и  среднюю  длину очереди

Решение. Имеем ; . Так как , установившийся режим существует. По формуле (5.55) находим

.

Вероятность наличия очереди  .

Средняя длина очереди по формуле (5.57) будет равна 0.89 [заявки].

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>