5.3.4. Система смешанного типа с ограничением по длине очередиВ п. 5.2.3 была рассмотрена СМО с ограничением по времени пребывания в очереди. Здесь мы рассмотрим -канальную систему смешанного типа с другим видом ограничения ожидания - по числу заявок, стоящих в очереди (буфер имеет конечную длину ). Предположим, что заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь, только если в ней находится менее заявок; если же число заявок в очереди равно (больше оно быть не может), то последняя прибывшая заявка в очередь не становится и покидает систему необслуженной. Остальные допущения - о простейшем потоке заявок и о показательном распределении времени обслуживания - оставим прежними. Составим ДУ для вероятностей состояний системы. Заметим, что в данном случае число состояний системы будет конечно, так как общее число заявок, связанных с системой, не может превышать ( обслуживаемых и стоящих в очереди). Возможны следующие состояния системы: - все каналы свободны, очереди нет; - занят один канал, очереди нет; ……………………….. - занято каналов, очереди нет; ……………………….. - занято каналов, очереди нет; - заняты все каналов, очереди нет; - заняты все каналов, одна заявка стоит в очереди; ………………………….. - заняты все каналов, заявок стоят в очереди.
Очевидно, первые уравнений для вероятностей будут совпадать с уравнениями Эрланга (5.29). Выведем остальные уравнения. Имеем , откуда . Далее выведем уравнение для , откуда . (5.58) Последнее уравнение будет иметь вид . (5.59) Таким образом, получена система ДУ: (5.60) Рассмотрим предельный случай при . Приравнивая все производные нулю, а все вероятности считая постоянными, получим систему алгебраических уравнений: (5.61) и добавочное условие: . (5.62) Уравнения (5.61) могут быть решены аналогично (5.41). Не останавливаясь на этом решении, приведем только окончательные формулы: , (5.63) . (5.64) Вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной, равна вероятности того, что в очереди уже стоят заявок. Нетрудно заметить, что формулы (5.63) и (5.64) получаются из формул (5.50), (5.51), если положить в них и ограничить суммирование по верхней границей . Пример 5.3. На телефонную станцию поступает простейший поток заявок с плотностью (вызовов в минуту). Имеется один обслуживающий сервер. В буфере могут одновременно находиться, ожидая очереди, не более трех заявок. Среднее время разговора составляет [минуты]. Определить: а) пропускную способность системы; б) среднее время простоя станции; в) определить, насколько изменятся эти характеристики, если добавить второй обслуживающий сервер. Решение. Имеем: . а) по формуле (5.64), полагая , находим вероятность того, что пришедшая заявка покинет систему необслуженной: . Относительная пропускная способность системы . Абсолютная пропускная способность: [заявок в минуту]. б) среднюю долю времени, которое система будет простаивать, найдем по формуле (5.63): . в) полагая , найдем: . При этом (т. е. будет удовлетворяться около 98% всех заявок) и [заявок в минуту]. Относительное время простоя: , т. е. оборудование будет простаивать полностью около 34% всего времени.
|