6-6 ОТОБРАЖЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Методы параметрического описания поверхностей наиболее удобно представляются в терминах отображения двупараметрической плоской поверхности из параметрического пространства в трехмерное объектное пространство . Ограничимся здесь обсуждением отображения прямоугольной плоской поверхности в параметрическом пространстве, показанной на рис. 6-22 и заданной уравнениями

Рис. 6-22 Прямоугольная параметрическая плоская поверхность.

Поверхность в объектном пространстве представляется функциями, отображающими эту параметрическую поверхность в объектное пространство , т. е.

Простой двумерный пример послужит в качестве иллюстрации этого метода.

Пример 6-7 Двумерное отображение поверхности

Отобразить поверхность, описываемую в параметрическом пространстве уравнениями

в объектное пространство. Для начала заметим, что так как , то поверхность в объектном пространстве также является двумерной и лежит на плоскости .

Рис. 6-23 Двумерное отображение поверхности. (а) Параметрическое пространство; (b) объектное пространство.

Границы поверхности в объектном пространстве определяются с помощью отображения в объектное пространство границ прямоугольника в параметрическом пространстве. Таким образом, для

; , и ,

; , и .

Во всех случаях для получения уравнения вида из соответствующего выражения исключался параметр ( или ). Результаты представлены на рис. 6-23.

Как показано в примере, задание постоянного значения одному из параметров порождает кривую на поверхности в объектном пространстве. Такая кривая называется изопараметрической или параметрической линией. Если задать один из параметров как функцию другого в параметрическом пространстве, т. е. , то в результате также получится кривая на поверхности в объектном пространстве.

Рис. 6-24 Трехмерное отображение поверхности. (а) компонента; (b) компонента; (с) компонента; (d) результат.

Например, функции

, ,

представляют диагонали единичного квадрата в параметрическом пространстве.

Специфицирование значений обоих параметров задает точку на поверхности в объектном пространстве. Другим способом задания точки (или точек) может служить пересечение двух кривых в параметрическом пространстве, например, и . Пересечение в параметрическом пространстве отображается или преобразуется в пересечение в объектном пространстве.

В более сложном трехмерном примере дополнительно иллюстрируется описываемая идея отображения.

Пример 6-8 Трехмерное отображение поверхности

Отобразить описанную в параметрическом пространстве поверхность

, ,

в объектное пространство. Вычислить координаты в объектном пространстве точки на поверхности с параметрами .

Сначала найдем граничные кривые

; , , и , ,

; , , и , .

Граничные кривые изображены на рис. 6-24d более толстыми линиями. Записав параметрическую поверхность в виде векторной функции

получим

в качестве координат точки , отмеченной на рис. 6-24d жирной точкой. Заметим, что каждая из компонент поверхности в объектном пространстве является также функцией параметров . Каждая из этих отдельных компонент показана на рис. 6-24а, b, с. Поверхность, изображенная на рис. 6-24d, является композицией всех преобразованных компонент.

И наконец, представляют интерес отображения вырожденных кусков, соответствующих точке и прямой. Для точки отображение записывается

, , .

Для прямой отображение записывается в виде , , .