6-7 БИЛИНЕЙНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

Одной из самых простых является билинейная поверхность. Билинейная поверхность конструируется из четырех угловых точек единичного квадрата в параметрическом пространстве, т.е. из точек , ,  и . Любая точка на поверхности определяется линейной интерполяцией между противоположными границами единичного квадрата, как это показано на рис. 6-25. Любая точка внутри параметрического квадрата задается уравнением

.  (6-41)

В матричном виде

.                  (6-42)

Необходимо, чтобы интерполируемая поверхность удовлетворяла исходным данным. В этом случае легко проверить, что угловые точки принадлежат этой поверхности, т.е.  и т.д.

Уравнение (6-42) задано в обобщенном матричном представлении интерполированной поверхности, а именно - матрица функций смешения по одной из бипараметрических переменных, геометрическая матрица, представляющая исходные данные, и матрица функций смешения по другой параметрической переменной.

Рис. 6-25 Билинейная интерполяция в параметрическом пространстве.

При изучении параметрических интерполированных поверхностей мы будем постоянно пользоваться этим представлением.

Если координатные векторы четырех точек, определяющих билинейную поверхность, заданы в трехмерном объектном пространстве, то будет трехмерна и билинейная поверхность, получаемая в результате отображения параметрического пространства в объектное. Если четыре определяющие точки не лежат в одной плоскости, то и билинейная поверхность также не лежит ни в какой плоскости. Действительно, в общем случае она сильно изогнута, пример этого показан на рис. 6-26. Определяющие точки являются концами противоположных диагоналей на противоположных гранях единичного куба. В результате получаем гиперболический параболоид. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример.

Пример 6-9 Билинейная поверхность Найти точку на билинейной поверхности, заданной точками , , , , т.е. концами противоположных диагоналей, лежащих на противоположных гранях единичного куба в объектном пространстве. Искомая точка имеет координаты  в параметрическом пространстве. Напомним, что поверхность в объектном пространстве является векторной функцией: тогда из уравнения (6-41) имеем . Рис. 6-26 Билинейная поверхность. (а) Определяющие угловые точки; (b) поверхность. Вся поверхность изображена на рис. 6-26b.

Заметим, что каждая изопараметрическая линия на билинейной поверхности является прямой линией. В самом деле, эта поверхность является двулинейчатой (см. разд. 6-8).