6-8 ЛИНЕЙЧАТЫЕ И РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ

Линейчатые поверхности часто используются в авиа- и кораблестроительной промышленности. Например, большинство авиационных крыльев являются цилиндрическими линейчатыми поверхностями. Линейчатая поверхность образуется при движении прямой линии вдоль направляющей с одной степенью свободы. Другой метод определения линейчатой поверхности состоит в следующем. Выберем произвольную точку на поверхности и будем вращать вокруг нормали плоскость, проходящую через нормаль к поверхности в этой точке (см. рис. 6-27). Если существует такая ориентация плоскости, при которой каждая точка на ребре плоскости контактируют с поверхностью, то поверхность линейчата в этом направлении. Если ребро вращающейся плоскости полностью соприкасается с поверхностью при более чем одной ориентации, то поверхность в этой точке многолинейчата.

Самой простой линейчатой поверхностью является плоскость. Для квадратичных поверхностей однолинейчаты конусы и цилиндры; однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид двулинейчаты.

В терминах отображения параметрического пространства в объектное пространство линейчатая поверхность получается с помощью линейного интерполирования между двумя известными граничными кривыми, ассоциированными с противоположными сторонами единичного квадрата в параметрическом пространстве, скажем, между кривыми и . Поверхность задается уравнениями:

(6-43)

или

Заметим, что снова и т.д., то есть концы специфированных кривых и углы поверхности совпадают. Кроме того, два края интерполированной поверхности совпадают с заданными кривыми, т.е. и .

Теперь предположим, что известны кривые, соответствующие и . Тогда линейчатая поверхность задается следующим образом:

(6-44)

или

Рис. 6-27 Свойства линейчатой поверхности.

Рис. 6-28 Пример линейчатой поверхности.

В этом случае опять углы поверхности совпадают с концами заданных кривых, а соответствующие края интерполированной поверхности совпадают с заданными граничными кривыми. На рис. 6-28 приводится пример линейчатой поверхности. Изображенные на этом рисунке отстоящими на некотором расстоянии от поверхности граничные кривые являются В-сплайнами третьего порядка (см. разд. 5-9). Описанная методика иллюстрируется на примере.

Пример 6-10 Линейчатая поверхность

Рассмотрим линейчатую поверхность, сформированную линейным интерполированием кривых и . Найдем координаты точки на поверхности с параметрами .

является незамкнутым В-сплайном третьего порядка с определяющими вершинами ломаной, заданными точками , , , и (см. разд. 5-9). Отметим, что вершины совпадают, в результате чего на кривой получается излом. также является незамкнутым В-сплайном третьей степени. Его вершины определяющей ломаной равны , , , .

Вспоминая обсуждение В-сплайнов, получим незамкнутые однородные узловые векторы для и , соответственно,

Заметим, что ненормализованные диапазоны изменения параметров для этих двух кривых различны, для и для . «Нормализованное» значение параметра линейчатой поверхности в точке соответствует для и для .

Используя уравнения (5-83) и (5-84), получим

В точке или

Аналогичным образом

В точке или

Использование уравнения (6-44) для получения точки на линейчатой поверхности даст

Результаты показаны на рис. 6-28. Жирной точкой отмечена точка поверхности, соответствующая . Обратите внимание на то, что кривая , содержащая излом, плавно переходит в гладкую кривую .

Особый практический интерес представляет вопрос, является ли линейчатая поверхность развертывающейся? Не все линейчатые поверхности развертывающиеся, однако, все развертывающиеся поверхности являются линейчатыми.

Если поверхность развертывающаяся, то с помощью последовательности небольших поворотов вокруг образующей линии она может быть без растяжений и разрывов развернута или раскрыта в плоскость. Развертывающиеся поверхности особенно важны для листопрокатной промышленности и в меньшей степени для текстильной промышленности.

Ясно, что среди линейчатых квадратичных поверхностей развертывающимися являются конусы и цилиндры. Однако после небольшого размышления становится ясно, что ни однополостный гиперболоид (см. рис. 6-18d), ни гиперболический параболоид (см. рис. 6-26) не являются развертывающимися поверхностями, хотя они линейчатые.

Чтобы определить, будет ли развертывающейся поверхность или ее часть, необходимо рассмотреть кривизну параметрической поверхности.

Рис. 6-29 Кривизна бипараметрической поверхности.

В произвольной точке на поверхности кривая пересечения поверхности и плоскости, содержащей нормаль к поверхности в точке , имеет кривизну (см. рис. 6-29). При вращении этой плоскости вокруг нормали кривизна меняется. Великий швейцарский математик Эйлер показал, что существуют только два направления, для которых кривизна принимает минимальное и максимальное значения. Кривизны в этих направлениях называются главными кривизнами, и . Кроме того, направления главных кривизн ортогональны. Два сочетания главных кривизн представляют особый интерес - средняя и гауссова кривизны:

, (6-45)

. (6-46)

Для развертывающейся поверхности гауссова кривизна в любой точке равна нулю, т. е. . Дил [6-18] показал, что для бипараметрических поверхностей средняя и гауссова кривизны задаются выражением

, (6-47)

, (6-48)

где

Таблица 6-2 Типы поверхностей

		Форма
Одинаковые знаки	<0	Эллиптическая (выпуклость или впадина)
Противоположные знаки	>0	Гиперболическая (седловая точка)
Одна или обе кривизны равны нулю	0	Цилиндрическая / коническая (гребень, впадина, плоскость)

Как показано в табл. 6-2, знак гауссовой кривизны характеризует локальную форму поверхности: эллиптическую, гиперболическую, цилиндрическую или коническую. Так как гауссова кривизна развертывающейся поверхности должна быть нулевой, то поверхность должна быть скомпонована из цилиндрических, конических или плоских кусков. Приведенный ниже пример поможет проиллюстрировать эти рассуждения

Пример 6-11 Развертывающаяся поверхность

Показать, что эллиптический конус является развертывающейся поверхностью.

Перепишем уравнение (6-32) для параметрического эллиптического конуса в терминах и :