6-9 ЛИНЕЙНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ КУНСА

Если известны четыре граничные кривые , ,  и  и для внутренней части куска поверхности используется билинейная смешивающая функция, то в результате получаем линейную поверхность Кунса. На первый взгляд можно предположить, что желаемый результат дает простая сумма отдельных линейчатых поверхностей (уравнения (6-43) и (6-44)) в двух направлениях :

.

Однако, проверив этот результат в угловых точках куска поверхности, например

и на границах, например

получим, что ни одно из этих значений не соответствует исходным данным. Это происходит из-за того, что угловые точки учитываются дважды, так как  содержится в обеих граничных кривых  и .

Правильный результат можно получить с помощью вычитания дополнительных членов, возникающих из-за удвоения угловых точек:

.           (6-49)

Теперь в угловых точках

 и т.д.

и вдоль границ

,

и т.д.

В матричной форме уравнение (6-49) имеет вид:

или более компактно

.                (6-50)

Рис. 6-30 Линейная поверхность Кунса.

Функции , ,  и  называются функциями смешения потому, что они смешивают граничные кривые для получения внутренней формы поверхности. Линейная поверхность показана на рис. 6-30. Линейная поверхность Кунса является самой простой из поверхностей Кунса. В разд. 6-10 обсуждается более общая поверхность Кунса. Следующий пример иллюстрирует использованный выше метод.

Пример 6-12 Линейная поверхность Кунса Найти точку с координатами , расположенную на линейной поверхности Кунса, если четыре граничные кривые , , ,  задаются незамкнутыми В-сплайнами третьего порядка  : , , , ,  : , , ,  : , , ,  : , , , , . Вспоминая предыдущее обсуждение В-сплайнов (см. разд. 5-9), получим узловой вектор для  и . Таким образом, ненормализованный диапазон параметра есть . Для  и  узловой вектор с ненормализованным диапазоном параметра  имеет вид . Соответствующими значениями для параметров в нормализованном диапазоне  являются  и . Воспользовавшись уравнениями (5-83) и (5-84), получим . Теперь, используя уравнение (6-50), имеем , Полученные результаты изображены на рис. 6-30. Отметим наличие плоского участка на поверхности, гауссова кривизна в этой области равна нулю. Следовательно, эта часть поверхности развертывающаяся. В остальной области гауссова кривизна положительна и поверхность не является развертывающейся.