6-9 ЛИНЕЙНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ КУНСА
Если известны четыре граничные кривые
,
,
и
и для внутренней части куска поверхности используется билинейная смешивающая функция, то в результате получаем линейную поверхность Кунса. На первый взгляд можно предположить, что желаемый результат дает простая сумма отдельных линейчатых поверхностей (уравнения (6-43) и (6-44)) в двух направлениях
:
.
Однако, проверив этот результат в угловых точках куска поверхности, например

и на границах, например

получим, что ни одно из этих значений не соответствует исходным данным. Это происходит из-за того, что угловые точки учитываются дважды, так как
содержится в обеих граничных кривых
и
.
Правильный результат можно получить с помощью вычитания дополнительных членов, возникающих из-за удвоения угловых точек:


. (6-49)
Теперь в угловых точках
и т.д.
и вдоль границ
,

и т.д.
В матричной форме уравнение (6-49) имеет вид:


или более компактно
. (6-50)

Рис. 6-30 Линейная поверхность Кунса.
Функции
,
,
и
называются функциями смешения потому, что они смешивают граничные кривые для получения внутренней формы поверхности. Линейная поверхность показана на рис. 6-30. Линейная поверхность Кунса является самой простой из поверхностей Кунса. В разд. 6-10 обсуждается более общая поверхность Кунса. Следующий пример иллюстрирует использованный выше метод.
Пример 6-12 Линейная поверхность Кунса
Найти точку с координатами , расположенную на линейной поверхности Кунса, если четыре граничные кривые , , , задаются незамкнутыми В-сплайнами третьего порядка 
: , , , , 
: , , , 
: , , , 
: , , , , .
Вспоминая предыдущее обсуждение В-сплайнов (см. разд. 5-9), получим узловой вектор для и 
.
Таким образом, ненормализованный диапазон параметра есть . Для и узловой вектор с ненормализованным диапазоном параметра имеет вид
.
Соответствующими значениями для параметров в нормализованном диапазоне являются и .
Воспользовавшись уравнениями (5-83) и (5-84), получим



.












Теперь, используя уравнение (6-50), имеем
,



Полученные результаты изображены на рис. 6-30. Отметим наличие плоского участка на поверхности, гауссова кривизна в этой области равна нулю. Следовательно, эта часть поверхности развертывающаяся. В остальной области гауссова кривизна положительна и поверхность не является развертывающейся.
|