6-13 В-СПЛАЙН ИНТЕРПОЛЯЦИЯВ предыдущих разделах обсуждались свойства и создание В-сплайн поверхностей по известной задающей полигональной сетке. Также представляет интерес и обратная задача: т.е. задано известное множество данных на поверхности, надо найти задающую полигональную сетку для В-сплайн поверхности, наилучшим образом интерполирующей эти данные. Так как границы поверхности, представляемой этими данными, обычно известны, то здесь будут рассматриваться только незамкнутые В-сплайн поверхности. Разработка аналогичного метода для замкнутых поверхностей с помощью периодических В-сплайн поверхностей не представляет труда. Обсуждение ограничивается топологически прямоугольными сетками, т. е. данные умозрительно могут быть представлены как находящиеся в точках пересечения прямоугольной решетки. Эта задача схематично изображена на рис. 6-49, где показана задающая полигональная сетка размера Вспомним уравнение (6-70) и заметим, что Рис. 6-49 Определение В-сплайн поверхности по известному набору данных. Следовательно, для каждой известной точки поверхности уравнение (6-70) дает линейное уравнение от неизвестных вершин
где для топологически прямоугольного множества
где Если матрица
В этом случае получившаяся поверхность проходит через все исходные точки. Хотя эта поверхность будет везде Рис. 6-50 Интерполяция В-сплайн поверхностью. (a) Исходные точки и интерполирующий характеристический многогранник; (b) исходные точки и сгенерированная поверхность. Опыт показывает, что в общем случае, чем меньше точек задающей полигональной сетки, тем лучше выглядит поверхность. Если
Параметрические значения
Аналогично для
где Как было ранее отмечено для интерполяции с помощью В-сплайн кривой (см. разд. 5-11), ни данный, ни указанный в [6-5] методы не могут привести к появлению точек или линий складок (разрывов первой или второй производной) в получаемой поверхности. Отметим из рис. 6-50, что вершины задающей полигональной сетки, полученные из уравнения (6-84), расположены произвольным образом в пространстве. Это неудобно, если в дальнейшем поверхность предполагается модифицировать. В работе [6-27] разработан итерационный метод, основанный на параметрических значениях
|