6-15 ГАУССОВА КРИВИЗНА И КАЧЕСТВО ПОВЕРХНОСТИ

В автоматизированном проектировании большой интерес представляет разработка соответствующих методов для определения и/или визуализации качества или гладкости поверхностей. Хорошо известно, что используемые обычно бикубические поверхности (Кунса, Безье или В-сплайн), хотя и являются во всех точках гладкими, в некоторых местах могут быть плоскими или выпуклыми либо волнистыми. В настоящее время самые лучшие математические методы определения качества поверхности используют Эйлеровы (ортогональные) сетки минимальной и максимальной кривизны (см. [6-28] и [6-29]) и гауссовой кривизны (см. [6-28]-[6-32], и разд. 6-8).

Вспомним (разд. 6-8), что две комбинации главных кривизн, называемые средней и гауссовой (общей) кривизнами, характеризуют локальную форму поверхности. Средняя кривизна определяется как

. (6-45)

Гауссова кривизна определяется как

, (6-46)

где и являются главными кривизнами. Гауссова кривизна в точке на поверхности показывает, является ли поверхность локально эллиптической, гиперболической или параболической (гауссова кривизна положительна, отрицательна или равна нулю).

Рис. 6-51 Разбиение В-сплайн поверхности. (а) Поверхность; (b) исходная задающая полигональная сетка; (с) сетка, разбитая в направлении; (d) сетка, разбитая в направлении; (е) сетка, разбитая в обоих направлениях.

Интересно отметить здесь, что если гауссова кривизна равна нулю, то поверхность является развертывающейся, т.е. она может быть развернута в плоскость. Такая поверхность изогнута в одном направлении, например, конус или цилиндр. Это подразумевает, что одна из главных кривизн, и равна нулю. Следовательно, равна нулю и гауссова кривизна.

Существуют несколько методов визуализации средней и гауссовой кривизн поверхности. Если изобразительные возможности ограничены рисованием отрезков, то наиболее полезны контурные чертежи (см. [6-28] и [6-29]). В работах [6-30] и [6-32] показано, что эффективным методом этого является кодирование гауссовой кривизны на растровом изображении с помощью цветов или набора полутонов серого цвета.

На рис. 6-52 показаны закодированные с помощью полутонов серого цвета изображения гауссовой кривизны для нескольких тестовых поверхностей вместе с соответствующим характеристическим многогранником (слева) и проволочным параметрическим представлением поверхностей (посередине). Все поверхности являются бикубическими В-сплайн поверхностями. На рис. 6-52 изображены три поверхности по мере увеличения степени нарушения их гладкости. На рис. 6-52а представлена совершенно гладкая поверхность, без изъянов. Два ярко выраженных гребня уменьшенной гладкости на рис. 6-52b вызваны совпадением на каждой стороне трех линий полигональной сетки. На рис. 6-52с удлиненная линия «складки» в середине поверхности получилась из-за совпадения трех линий полигональной сетки на участке, пересекающем несколько внутренних линий сетки, что показано на характеристическом многограннике.

Вообще, изображения закодированной гауссовой кривизны более наглядно показывают свойства поверхностей. Например, рисунки 6-52а и b демонстрируют большое отрицательное значение кривизны в угловых точках. Эта отрицательная кривизна является результатом ограничений на границы поверхности - они должны быть прямыми и плоскими, тогда как внутренняя область выпукла и положительно изогнута. Закодированное изображение гауссовой кривизны на рис. 6-52b подчеркивает уплощение области, расположенной между гребнями. Отметим, что, так как гауссова кривизна равна нулю в этой области, то эта часть поверхности является развертывающейся. Отметим также, что задающая полигональная сетка в этой области является развертывающейся. И наконец, полоса поперек середины закодированного изображения на рис. 6-52с показывает, что поверхность в этой области представляет собой плоскость, согнутую посередине. Тот факт, что cгиб является прямой линией, объясняет исчезновение гауссовой кривизны вдоль этой линии.

Рис. 6-52 Гауссова кривизна. (а) Гладкая поверхность; (b) короткая линия «складки»; (с) более длинная линия «складки». (С разрешения Дж. Дилла и Д. Роджерса.)

Метод вычисления гауссовой кривизны будет проиллюстрирован на примере.

Пример 6-17 Гауссова кривизна

Найти гауссову кривизну в точке с параметрами , для незамкнутой В-сплайн поверхности, определенной ранее в примере 6-15.

Вспомним сначала базисные функции и из примера 6-15. По этим данным можно вычислить первую и вторую производные, необходимые для нахождения , , , и , и последующего вычисления гауссовой кривизны. А именно