2-6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СРЕДНЕЙ ТОЧКИ

На рис. 2-2 видно, что -матрица преобразует прямую линию , проходящую между точками  и  в другую прямую , которая проходит между точками  и . Фактически с помощью -матрицы осуществляется преобразование любой прямой в другую прямую. Все точки преобразованной линии непосредственно соответствуют всем точкам исходной линии. Это достаточно очевидно для конечных точек линии. Рассмотрим теперь преобразование средней точки прямой линии . Допустим, что

,  и .

Преобразуем одновременно две крайние точки:

,    (2-11)

Итак, конечные точки преобразованной линии  имеют следующие координаты

,

.             (2-12)

Средняя точка отрезка  выражается через преобразованные конечные точки

.                 (2-13)

Возвращаясь к исходной линии , можно определить среднюю точку следующим образом:

.    (2-14)

Применив матрицу преобразования  к средней точке линии , получаем:

.                 (2-15)

Из сравнения выражений (2-13) и (2-15) видно, что они одинаковы, и поэтому средняя точка линии  преобразуется в среднюю точку линии . Такой метод можно применить и к любым другим отрезкам разделенной линии. Таким образом, при преобразовании путем умножения на матрицу гарантируется соответствие всех точек линии  и .

Пример 2-1 Средняя точка прямой Рассмотрим отрезок  из рис. 2-2. Положение векторов конечных точек такое: , . Преобразование  осуществляет перемещение вектора на линию : . Средняя точка  будет иметь координаты . Координаты средней точки линии  равны . Преобразуем среднюю точку и получим , что полностью эквивалентно предыдущему результату.

Применением этих результатов в машинной графике любая прямая может быть преобразована в любую другую прямую путем простого преобразования ее конечных точек и восстановления линии между ними.