2-20 ТОЧКИ БЕСКОНЕЧНОСТИОднородные координаты предоставляют удобный и эффективный способ нанесения точек из одной системы координат в соответствующие точки альтернативной координатной системы. Бесконечная область в одной координатной системе часто преобразуется в конечную область в альтернативной системе. При некорректном выборе переноса параллельность прямых может не сохраняться. Однако точки пересечения после преобразования оказываются снова в точках пересечения. Данное свойство используется для определения однородных координат представления точек бесконечности. Рассмотрим пару пересекающихся прямых, заданных уравнениями
Прямые пересекаются в точке с координатами или
Если матрица
или в матричной форме
т.е.
Квадратная матрица, обратная данной [2-1], имеет следующий вид:
Умножая обе части уравнения на
Таким образом, точка пересечения опять имеет координаты Рассмотрим теперь две параллельные прямые, заданные следующим образом:
По определению геометрии Евклида, точка пересечения двух параллельных прямых расположена в бесконечности. Продолжая предыдущие рассуждения, вычислим точку пересечения этих прямых, заданных в матричной форме,
Однако несмотря на то что матрица квадратная, она не имеет обратной, так как две ее строки тождественны. Такая матрица называется сингулярной. Возможна иная формулировка с обратимой матрицей. Получим ее, переписывая систему уравнений следующим образом:
или в матричной форме
Таблица 2-1 Однородные координаты для точки
В данном случае матрица не является сингулярной и существует обратная ей
Умножая обе части выражения на обратную матрицу, получаем
Результирующие однородные координаты
Вектор с однородной компонентой Рассмотрим прямую Обратившись снова к рис. 2-15, легко продемонстрировать геометрическую интерпретацию процесса движения к пределу при
|