Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


3-10 ОТРАЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

Преобразования, заданные в уравнениях (3-11)-(3-13), осуществляют отражение относительно координатных плоскостей , ,  соответственно. Часто возникает необходимость отразить объект относительно произвольной плоскости. И снова это можно сделать с помощью процедуры, объединяющей ранее определенные простые преобразования. Один из возможных методов состоит в следующем:

-  перенести точку , принадлежащую плоскости отражения, в начало системы координат;

-  повернуть вектор нормали к плоскости отражения в начале координат до совпадения с осью  (см. разд. 3-9, уравнения (3-23) и (3-24)), теперь плоскость отражения будет совпадать с координатной плоскостью ;

-  применяя уже известные преобразования, отразить объект относительно координатной плоскости  (см. (3-11));

-  чтобы получить результаты, необходимо выполнить преобразования, обратные к описанным в первых двух пунктах.

Тогда общее преобразование описывается матрицей

,

где матрицы , ,  задаются уравнениями (3-22)-(3-24) соответственно,  - матрица отражения относительно плоскости ,  - координаты точки  на плоскости отражения; а  есть вектор нормали к плоскости отражения.

Пример более подробно проиллюстрирует данный метод.

Пример 3-11 Отражение

Снова рассмотрим куб с одним отсеченным углом, как это показано на рис. 3-8а. Отразим куб относительно плоскости, содержащей треугольник .

Выбрав точку  для перемещения в начало координат и вспомнив координатные векторы для куба, получим матрицу переноса

.

Нормаль к плоскости отражения получим, используя координатные векторы , ,  (см. [3-1]). Конкретнее, взяв векторное произведение векторов  и  до переноса, получим

.

Нормализация дает

.

Используя уравнения (3-19) и (3-20), получим

и , . Матрицы поворотов для совмещения нормали в точке  с осью  имеют вид (см. (3-23) и (3-24))

, .

Матрицы ,  и  можно получить подстановкой ,  и  в (3-22)-(3-24).

            Объединение ,  и  дает

.

Преобразованные промежуточные точки равны

.

Этот промежуточный результат изображен на рис. 3-9b. Заметим, что точка  находится в начале системы координат, а ось  направлена на нас.

Отражение относительно произвольной плоскости теперь эквивалентно отражению относительно плоскости . Следовательно (см. (3-11)),

.

139.jpg

Рис. 3-9 Отражение относительно произвольной плоскости.

Для возврата преобразованного объекта в «исходное» положение в пространстве требуется преобразование

.

Результирующие координатные векторы таковы:

,

где

.

На рис. 3-9 с показан преобразованный объект.

Как показано в этом и предыдущих разделах, сложные преобразования можно легко построить с помощью простых базовых преобразований. Такой подход даже предпочтительнее, так как он уменьшает вероятность появления ошибок и более эффективен с вычислительной точки зрения, нежели прямой математический подход.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>