3-10 ОТРАЖЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

Преобразования, заданные в уравнениях (3-11)-(3-13), осуществляют отражение относительно координатных плоскостей , , соответственно. Часто возникает необходимость отразить объект относительно произвольной плоскости. И снова это можно сделать с помощью процедуры, объединяющей ранее определенные простые преобразования. Один из возможных методов состоит в следующем:

- перенести точку , принадлежащую плоскости отражения, в начало системы координат;

- повернуть вектор нормали к плоскости отражения в начале координат до совпадения с осью (см. разд. 3-9, уравнения (3-23) и (3-24)), теперь плоскость отражения будет совпадать с координатной плоскостью ;

- применяя уже известные преобразования, отразить объект относительно координатной плоскости (см. (3-11));

- чтобы получить результаты, необходимо выполнить преобразования, обратные к описанным в первых двух пунктах.

Тогда общее преобразование описывается матрицей

где матрицы , , задаются уравнениями (3-22)-(3-24) соответственно, - матрица отражения относительно плоскости , - координаты точки на плоскости отражения; а есть вектор нормали к плоскости отражения.

Пример более подробно проиллюстрирует данный метод.

Пример 3-11 Отражение

Снова рассмотрим куб с одним отсеченным углом, как это показано на рис. 3-8а. Отразим куб относительно плоскости, содержащей треугольник .

Выбрав точку для перемещения в начало координат и вспомнив координатные векторы для куба, получим матрицу переноса

Нормаль к плоскости отражения получим, используя координатные векторы , , (см. [3-1]). Конкретнее, взяв векторное произведение векторов и до переноса, получим

Нормализация дает

Используя уравнения (3-19) и (3-20), получим

и , . Матрицы поворотов для совмещения нормали в точке с осью имеют вид (см. (3-23) и (3-24))

, .

Матрицы , и можно получить подстановкой , и в (3-22)-(3-24).

Объединение , и дает

Преобразованные промежуточные точки равны

Этот промежуточный результат изображен на рис. 3-9b. Заметим, что точка находится в начале системы координат, а ось направлена на нас.

Отражение относительно произвольной плоскости теперь эквивалентно отражению относительно плоскости . Следовательно (см. (3-11)),

Рис. 3-9 Отражение относительно произвольной плоскости.

Для возврата преобразованного объекта в «исходное» положение в пространстве требуется преобразование

Результирующие координатные векторы таковы:

где

На рис. 3-9 с показан преобразованный объект.

Как показано в этом и предыдущих разделах, сложные преобразования можно легко построить с помощью простых базовых преобразований. Такой подход даже предпочтительнее, так как он уменьшает вероятность появления ошибок и более эффективен с вычислительной точки зрения, нежели прямой математический подход.