3-9 ПОВОРОТ ВОКРУГ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОСИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Обобщенный случай поворота вокруг произвольной оси в пространстве встречается часто, например в робототехнике, мультипликации, моделировании. Следуя логике предыдущего обсуждения, поворот вокруг произвольной оси в пространстве выполняется с помощью переноса и простых поворотов вокруг координатных осей. Так как метод поворота вокруг координатной оси известен, то основная идея заключается в том, чтобы совместить произвольную ось вращения с одной из координатных осей.

Рис. 3-6 Несколько поворотов относительно локальной системы координат.

Предположим, что произвольная ось в пространстве проходит через точку с направляющим вектором . Поворот вокруг этой оси на некоторый угол выполняется по следующему правилу:

- выполнить перенос так, чтобы точка находилась в начале системы координат;

- выполнить соответствующие повороты так, чтобы ось вращения совпала с осью ;

- выполнить поворот на угол вокруг оси ;

- выполнить преобразование, обратное тому, что позволило совместить ось вращения с осью ;

- выполнить обратный перенос.

В общем случае для того, чтобы произвольная ось, проходящая через начало координат, совпала с одной из координатных осей, необходимо сделать два последовательных поворота вокруг двух других координатных осей. Для совмещения произвольной оси вращения с осью сначала выполним поворот вокруг оси , а затем вокруг оси . Чтобы определить угол поворота вокруг оси , используемый для перевода произвольной оси в плоскость , спроецируем сначала на плоскость направляющий единичный вектор этой оси (рис. 3-7а). Компоненты и спроецированного вектора равны - и -компонентам единичного направляющего вектора оси вращения.

Из рис. 3-7а следует, что

(3-18)

, . (3-19)

Рис. 3-7 Повороты, необходимые для совмещения с осью единичного вектора . (а) Поворот вокруг ; (b) поворот вокруг .

После перевода в плоскость с помощью поворота вокруг оси , -компонента единичного вектора равна , а -компонента равна , т.е. -компоненте направляющего вектора, как это показано на рис. 3-7b. Длина единичного вектора равна, конечно, 1. Таким образом, угол поворота вокруг оси , необходимый для совмещения произвольной оси с осью , равен

, . (3-20)

Тогда полное преобразование можно представить в виде

, (3-21)

где матрица переноса равна

. (3-22)

Матрица преобразования поворота вокруг оси

(3-23)

и вокруг оси

. (3-24)

И, наконец, вращение вокруг произвольной оси задается матрицей поворота вокруг оси

. (3-25)

На практике углы и не вычисляются явным образом. Элементы матриц поворотов и в (3-21) получаются из уравнений (3-18)-(3-20) за счет выполнения двух операций делениия и извлечения квадратного корня. Хотя данные результаты были разработаны для произвольной оси в первом квадранте, они применимы во всех квадрантах.

Если компоненты направляющего вектора произвольной оси неизвестны, то, зная вторую точку на оси, их можно определить, нормализовав вектор, соединяющий первую и вторую точки. Более точно вектор оси из в равен

Нормализация дает компоненты направляющего вектора:

. (3-26)

Более полно этот метод иллюстрируется в следующем примере.

Пример 3-10 Поворот вокруг произвольной оси

Рассмотрим куб с одним отсеченным углом, изображенный на рис. 3-8а. Координатные векторы вершин равны

Рис. 3-8 Поворот вокруг произвольной оси.

Куб необходимо повернуть на вокруг оси, проходящей через точку и противоположный угол на диагонали. Ось направлена из точки в противоположный угол и проходит через центр угловой грани.

Сначала определим компоненты направляющего единичного вектора оси вращения. Учитывая, что угол, отрезанный треугольником также лежит на оси, из (3-26) следует, что

С помощью уравнений (3-18)-(3-20) получаем

Так как точка лежит на оси вращения, матрица переноса равна

Тогда матрицы поворотов, совмещающих произвольную ось вращения с осью , имеют вид:

Обратные матрицы , и получаются с помощью подстановки значений , и для углов , и , соответственно, в уравнения (3-22)-(3-24).

Объединив , , , получим

Преобразованные промежуточные координаты равны

Этот промежуточный результат изображен на рис. 3-8b. Заметим, что точка равна .

Вращение вокруг произвольной оси теперь эквивалентно вращению вокруг оси . Следовательно (см. (3-7)),

Преобразованный объект возвращается в его «исходное» местоположение в пространстве с помощью преобразования

Этот результат можно получить либо обращением и объединением матриц, составляющих , либо обращением самой матрицы . Заметим, между прочим, что представляют только повороты. Верхняя левая -подматрица является точным транспонированием верхней левой -подматрицы .

Координаты результата равны

где

На рис. 3-8с изображен преобразованный объект.