Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


3-8 ПОВОРОТЫ ВОКРУГ ОСИ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ КООРДИНАТНОЙ ОСИ

Преобразования, заданные равенствами (3-6)-(3-8), описывают вращение вокруг координатных осей ,  и . Однако часто бывает необходимо вращать объект вокруг оси, не совпадающей с этими тремя. Мы рассмотрим частный случай для оси, параллельной одной из координатных осей ,  или . На рис. 3-5 изображено тело в локальной системе осей  параллельных фиксированной глобальной системе . Вращение тела вокруг любой из локальных осей ,  или  выполняется с помощью следующей процедуры:

-  переместить тело так, чтобы локальная ось совпала с координатной;

-  повернуть вокруг указанной оси;

-  переместить преобразованное тело в исходное положение.

Математически это можно записать так:

,

где

 - преобразованное тело,

 - исходное тело,

 - матрица перемещения,

 - соответствующая матрица поворота,

 - матрица, обратная к матрице перемещения.

Ниже приводится иллюстративный пример.

127.jpg

Рис. 3-5 Поворот вокруг оси, параллельной одной из координатных осей.

Пример 3-8 Единственное относительное вращение

Рассмотрим параллелепипед, изображенный на рис. 3-5а, заданный координатными векторами

относительно глобальной системы координат . Повернем параллелепипед на ?относительно локальной оси , проходящей через центр параллелепипеда. Предполагается, что начало локальной системы координат находится в центре параллелепипеда. Координаты этого центра равны . Вращение осуществляется следующим образом:

,

где

,

и

.

Первая матрица  сдвигает параллелепипед параллельно плоскости  до тех пор, пока ось  не совпадет с осью . Вторая матрица  выполняет требуемое вращение вокруг оси , третья матрица  переносит ось , а следовательно, и повернутый параллелепипед, обратно в исходное положение.

Объединив эти три матрицы, получим

.

После подстановки числовых значений преобразованные координаты примут вид:

,

.

Результат изображен на рис. 3-5b.

В предыдущем примере требовалось только вращение вокруг единственной оси, параллельной одной из координатных осей. Таким образом, надо только было сделать так, чтобы ось вращения совпала с соответствующей координатной осью. Для того чтобы совершить несколько поворотов в локальной системе осей, параллельных осям глобальной системы координат, надо совместить начала локальной и глобальной систем. Конкретнее, повороты могут быть выполнены с помощью следующей процедуры:

-        переместить локальную систему осей так, чтобы начала локальной и глобальной систем совпали;

-        выполнить требуемые повороты;

-        переместить локальную систему осей обратно в исходное положение. Ниже эта процедура иллюстрируется на примере.

Пример 3-9 Несколько относительных вращений

Рассмотрим снова параллелепипед, изображенный на рис. 3-5а. Пусть его требуется повернуть сначала на угол  вокруг оси , а затем на угол вокруг оси . Для этого надо совместить начала систем координат  и , выполнить необходимые повороты, а результат вернуть обратно в исходное положение.

Объединенное преобразование имеет вид:

.

Конкретнее,

,

где  и  обозначают углы поворотов вокруг осей  и , соответственно. Объединив эти матрицы, получим

.    (3-17)

Тогда преобразованные координатные векторы равны

,

.

Результат изображен на рис. 3-6.

 

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>