3-7 КОМПОЗИЦИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Последовательные преобразования могут быть скомбинированы или объединены в одно -преобразование, дающее тот же самый результат. Так как перемножение матриц является некоммутативной операцией, то важен порядок ее выполнения (в общем случае ). Правильный порядок определяется положением конкретной матрицы преобразования относительно матрицы координатного вектора. Матрица, ближайшая к матрице координатного вектора, задает первое преобразование, а последняя - последнее преобразование. Математически это можно записать следующим образом:

,

где

и  являются произвольной комбинацией матриц масштабирования, сдвига, вращения, отражения, переноса, перспективного преобразования и проецирования. Так как перспективные преобразования искажают геометрические объекты (см. разд. 3-15), а преобразования проецирования приводят к потере информации (см. разд. 3-12), то в случае наличия этих матриц они должны быть расположены соответственно предпоследней и последней по порядку.

Эти идеи проиллюстрированы в приведенном ниже примере.

Пример 3-7 Композиции преобразований Рассмотрим для заданного в однородных координатах координатного вектора  результат переноса в направлениях , ,  на , ,  соответственно, а затем поворота на  вокруг оси  и поворота на  вокруг оси . Сначала получим матрицу комбинированного преобразования. Из равенств (3-14), (3-6) и (3-8) следует, что ,            (3-16) где  и  - соответственно углы вращения относительно осей  и ; а , ,  - величины переноса в направлениях , , . В общем случае для координатного вектора мы имеем . Для конкретных значений , , , ,  преобразуемый координатный вектор имеет вид . , . Чтобы убедиться, что общая матрица дает тот же самый результат, как и последовательное применение матриц, рассмотрим , , , , что доказывает наше утверждение.