3-14 КОСОУГОЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ
В противоположность ортографическим и аксонометрическим проекциям, для которых проекторы перпендикулярны плоскости проекции, косоугольная проекция формируется параллельными проекторами с центром, лежащим в бесконечности, и расположенными под косым углом к плоскости проекции. Общая схема проекции изображена на рис. 3-20.
Косоугольные проекции показывают общую трехмерную форму объекта. Однако истинные размер и форма изображаются только для граней объекта, распложенных параллельно плоскости проекции, т.е. углы и длины сохраняются только для таких граней. В самом деле, косоугольная проекция этих граней эквивалентна ортографическому виду спереди. Грани, не параллельные плоскости проекции, подвергаются искажению.
Особый интерес представляют две косоугольные проекции - кавалье и кабине. Проекция кавалье получается, когда угол между проекторами и плоскостью проекции составляет
. В этой проекции коэффициенты искажения для всех трех главных направлений одинаковы. Результат этой проекции выглядит неестественно утолщенным. Для «коррекции» этого недостатка используется проекция кабине.
Проекцией кабине называется такая косоугольная проекция, у которой коэффициент искажения для ребер, перпендикулярных плоскости проекции, равен 1/2. Как будет показано ниже, для проекции кабине угол между проекторами и плоскостью проекции составляет
.

Рис. 3-20 Косоугольная проекция.

Рис. 3-21 Построение косоугольной проекции.
Чтобы построить матрицу преобразования для косоугольной проекции, рассмотрим единичный вектор
вдоль оси
, показанный на рис. 3-21. Для ортографической или аксонометрической проекции на плоскость
вектор
задает направление проекции. При косоугольной проекции проекторы составляют угол с плоскостью проекции. На рис. 3-21 показаны типичные косоугольные проекторы
и
. Проекторы
и
образуют угол
с плоскостью проекции
. Заметим, что все возможные проекторы, проходящие через точку
или
и образующие угол
с плоскостью
, лежат на поверхности конуса с вершиной в
или
. Таким образом, для заданного угла
существует бесконечное количество косоугольных проекций.
Проектор
можно получить из
с помощью переноса на
точки
в точку
. В двумерной плоскости, проходящей через
перпендикулярно оси
,
-матрица преобразования равна
.
В трехмерном пространстве это двумерное преобразование эквивалентно сдвигу вектора
в направлениях
и
. Для этого необходимо преобразование
.
Проецирование на плоскость
дает
.
Из рис. 3-21 получаем, что
,
,
где
- длина спроецированного единичного вектора на оси
, т.е. коэффициент искажения, а
- угол между горизонталью и спроецированной осью
. Из рис. 3-21 также ясно, что
- угол между косыми проекторами и плоскостью проекции равен
. (3-43)
Таким образом, преобразование для косоугольной проекции имеет вид:
. (3-44)
При
,
получаем ортографическую проекцию. Если
, то не подвергаются искажению ребра, перпендикулярные плоскости проекции. А это является условием проекции кавалье. Из равенства (3-43) имеем:
.
Заметим, что в проекции кавалье
является все еще свободным параметром. На рис. 3-22 показаны проекции кавалье для некоторых значений
. Наиболее часто используются значения
, равные
и
. Также применяется значение
.
Проекцию кабине можно получить при коэффициенте искажения
. Отсюда
.
В этом случае снова угол
является переменной величиной, как это показано на рис. 3.23. Наиболее часто встречаются значения
и
, применяется также значение
.

Рис. 3-22 Проекции кавалье. Сверху вниз угол
изменяется от
до
с интервалом
, угол
.

Рис. 3-23 Проекции кабине. Сверху вниз угол
изменяется от
до
с интервалом
, коэффициент искажения
.

Рис. 3-24 Косоугольные проекции. Слева направо
при
.

Рис. 3-25 Искажение, возникающее в косоугольных проекциях,
,
. (а) Круглая грань параллельна плоскости проекции; (b) круглая грань перпендикулярна плоскости проекции; (с) длинная сторона перпендикулярна плоскости проекции; (d) длинная сторона параллельна плоскости проекции.
На рис. 3-24 изображены косоугольные проекции для коэффициентов искажения
с углом
.
Поскольку изображается истинная форма одной грани, косоугольные проекции особенно подходят для иллюстрации объектов с круглыми или иными искривленными гранями. Такие грани должны быть параллельны плоскости проекции, чтобы избежать нежелательных искажений. Так же, как и в случае параллельных проекций, объекты с одним измерением, существенно превосходящим другие, подвергаются значительному искажению, если только это измерение не параллельно плоскости проекции. Такие эффекты показаны на рис. 3-25.
Ниже приводится подробный пример.
Пример 3-16 Косоугольные проекции
Построим проекции кавалье и кабине для куба с одним отсеченным углом (см. пример 3-13).
Вспомнив, что проекция кавалье - это косоугольная проекция с , т.е. коэффициент искажения , и выбрав угол горизонтального наклона , из (3-44) получим матрицу преобразования
.
Преобразуем координаты куба с отсеченным углом (см. пример 3-13)
.
Результат изображен на рис. 3-22.
Обратившись теперь к проекции кабине и вспомнив, что коэффициент искажения равен 1/2, из равенства (3-43) получим
.
Снова выбрав , из (3-44), имеем:
.
Преобразованные координаты проекции кабине для этого куба равны
.
Этот результат изображен на рис. 3-23.
Отметим, что и для проекции кавалье, и для проекции кабине треугольная грань не изображается с правильными размерами или формой, так как она не параллельна плоскости проекции ( ).
|