3-15 ПЕРСПЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Перспективное преобразование имеет место, когда не равен нулю любой из первых трех элементов четвертого столбца обобщенной -матрицы преобразования однородных координат. Как было упомянуто ранее (см. разд. 3-11), перспективное преобразование - это преобразование одного трехмерного пространства в другое. В отличие от обсуждавшихся ранее параллельных преобразований, в данном случае параллельные прямые сходятся, размер объекта уменьшается с увеличением расстояния до центра проекции, и происходит неоднородное искажение линий объекта, зависящее от ориентации и расстояния от объекта до центра проекции. Все это помогает нашему восприятию глубины, но не сохраняет форму объекта.

Одноточечное перспективное преобразование задается равенством

. (3-45)

Здесь . Обычные координаты получаются делением на :

. (3-46)

Перспективное проецирование на некоторую двумерную видовую плоскость можно получить, объединив ортографическую проекцию с перспективным преобразованием. Например, перспективное проецирование на плоскость выполняется с помощью преобразований

(3-47)

. (3-48)

Обычные координаты равны

. (3-49)

Чтобы показать, что равенство (3-47) выполняет перспективное проецирование на плоскость , рассмотрим рис. 3-26 с геометрическими построениями для перспективной проекции трехмерной точки на плоскость в точку и с центром проекции, лежащим в на оси .

Рис. 3-26 Перспективная проекция точки.

Координаты точки проекции можно получить, используя подобие треугольников. Из рис. 3-26 следует:

или

равно, конечно, нулю.

Полагая , получим результаты, аналогичные полученным с помощью (3-47). Таким образом, уравнение (3-47) осуществляет перспективное проецирование на плоскость с центром проекции в точке на оси . Заметим, что при приближении к бесконечности, приближается к нулю и в результате получаем аксонометрическую проекцию на плоскость .

Рис. 3-27 Проекция прямой, параллельной оси .

Заметим далее, что на точки, лежащие в плоскости проекции, т.е. , перспективное преобразование не действует. Отметим также, что начало координат остается неизменным. Следовательно, если плоскость проекции проходит через объект, то эта часть объекта изображается с правильным размером и формой. Все другие части объекта искажаются.

Чтобы лучше понять действие перспективного преобразования, рассмотрим рис. 3-27. На нем показано перспективное проецирование на плоскость отрезка , параллельного оси , в отрезок на плоскости с центром проекции, расположенным в точке на оси . Преобразование можно разделить на два этапа (см. (3-47)). На первом этапе отрезок отображается в отрезок (см. рис. 3-27). Затем с помощью ортографического проецирования отрезок в трехмерном пространстве отображается в отрезок на плоскости . Центр проекции расположен в бесконечности.

Исследование рис. 3-27 показывает, что прямые и пересекают плоскость в одной и той же точке. Прямая также пересекает ось в точке . Далее, перспективное преобразование (см. (3-45) и (3-46)) отображает расположенную в бесконечности точку пересечения параллельных прямых и оси в конечную точку на оси . Эта точка называется точкой схода. Заметим, что точка схода лежит на том же расстоянии от плоскости проекции, что и центр проекции, только с противоположной стороны от плоскости, например, если есть плоскость проекции, а центр проекции находится в , тогда точка схода находится в .

Чтобы подтвердить это наблюдение, рассмотрим перспективное преобразование точки, находящейся в бесконечности на оси , т.е.

. (3-50)

Соответствующая ей точка теперь является конечной точкой на положительной оси . Это означает, что все полубесконечное положительное пространство отображается в ограниченную область . Далее, все прямые, параллельные оси , теперь проходят через точку - точку схода.

Прежде чем перейти к примерам, для полноты изложения укажем одноточечные перспективные преобразования с центром проекции и точкой схода, расположенными на осях и . Одноточечное перспективное преобразование

(3-51)

с обычными координатами

(3-52)

имеет центр проекции и точку схода, расположенную на оси в .

Одноточечное перспективное преобразование

(3-53)

с обычными координатами

(3-54)

имеет центр проекции и точку схода, расположенную на оси в .

Пример 3-17 Перспективное преобразование прямой, параллельной оси

Рассмотрим отрезок на рис. 3-27, параллельный оси , с концевыми точками и . Выполним перспективное проецирование на плоскость с центром проекции в точке . Перспективное преобразование в при равно

Параметрическое уравнение отрезка

, ,

или .

Пересечение этого отрезка с плоскостями , и дает

Подставив значение в параметрическое уравнение отрезка , получим

что является пересечением отрезка с осью в точке , точке схода. Теперь подстановка в уравнения для - и -компонент значения дает пересечение с плоскостью , т.е.

что совпадает с пересечением прямой с плоскостью . Проекция отрезка в отрезок на плоскости вычисляется следующим образом

Ниже приводится пример с простым кубом.

Пример 3-18 Одноточечное перспективное преобразование куба

Выполним перспективное проецирование на плоскость единичного куба, изображенного на рис. 3-28а, с центром проекции в точке на оси .

Одноточечный перспективный множитель равен

Рис. 3-28 Одноточечная перспективная проекция единичного куба.

Из уравнения (3-48) получаем, что

Результат изображен на рис. 3-28b. Отметим, что, поскольку центр проекции находится на положительной оси , проекция передней грани куба больше проекции задней грани. Почему так происходит, показано на рис. 3-28с, на котором изображена параллельная проекция исходного куба на плоскость .

Отметим также, что, поскольку точка схода лежит на оси , прямая на рис. 3-28b проходит через начало координат.

В качестве альтернативного метода, эквивалентного первому, можно было бы выполнить перспективное преобразование и получить искаженный объект в трехмерном пространстве, а затем ортографически спроецировать результат на некоторую плоскость. Искаженный объект получают следующим образом:

Результат, полученный с помощью косоугольной проекции показан на рис. 3-28d. Заметим, что «передняя» грань больше, чем «зaдняя» грань . Последующее ортографическое проецирование на плоскость дает тот же самый результат , что был получен ранее и который изображен на рис. 3-28с.

На рис. 3-28е, на котором представлена ортографическая проекция на плоскость искаженного объекта с рис. 3-28d, показано, что ребра куба, ранее параллельные оси , теперь сходятся к точке схода .

Рис. 3-28b не передает трехмерности куба. Как показано в следующем примере, более удовлетворительный результат можно получить центрированием куба.

Пример 3-19 Одноточечное перспективное преобразование центрированного куба

Изображенный на рис. 3-28a куб может быть центрирован на оси путем его переноса на вдоль направлений и . Результирующее преобразование

Сдвинутый куб изображен на рис. 3-29а.

Преобразованные обычные координаты равны

Результат изображен на рис. 3-29b. Заметим, что ранее параллельные оси прямые, соединяющие углы передней и задней граней, теперь сходятся к оси .

Рис. 3-29 Одноточечная перспективная проекция центрированного единичного куба.

К сожалению, результирующее изображение все еще не дает адекватного восприятия трехмерной формы объекта. Поэтому мы обратимся к более сложным перспективным преобразованиям.

Если в четвертом столбце -матрицы преобразования два элемента из первых трех не равны нулю, то такое преобразование называется двуточечным перспективным преобразованием. Двуточечное перспективное преобразование

(3-55)

с обычными координатами

(3-56)

имеет два центра проекции: первый на оси в точке и второй на оси в точке , и две точки схода: на оси в точке и на оси в точке . Заметим, что заданное уравнением (3-55) двуточечное преобразование можно получить объединением двух одноточечных. Конкретнее,

где задается уравнением (3-55), - уравнением (3-53) и - уравнением (3-51). Более подробно двуточечная перспективная проекция рассмотрена в следующем примере.

Пример 3-20 Двуточечные перспективные преобразования

Снова рассмотрим куб, описанный в примере 3-18. Построим двуточечную перспективную проекцию этого куба на плоскость для центров проекции, находящихся в точках и . Нужное преобразование получим путем объединения (3-55) и (3-27). А именно,

Здесь и равны

, .

Преобразованные координаты куба имеют вид:

Результаты изображены на рис. 3-30а. Две точки схода находятся в и .

Рис. 3-30 Двуточечные перспективные проекции, (а) Нецентрированного куба; (b) центрированного куба

Центрирование куба на оси с помощью переноса вдоль и на , аналогичное проделанному в примере 3-18, приведет к следующей общей матрице преобразования

где предполагается проецирование на плоскость . Заметим, что в этом случае общий масштабирующий множитель больше не равен единице (см. (3-4)), т. е. происходит очевидное масштабирование куба, вызванное его перемещением. Преобразованные координаты равны

Результаты изображены на рис. 3-30b.

И снова полученное изображение не дает адекватного восприятия трехмерной формы объекта. Поэтому обратимся к трехточечным перспективным преобразованиям.

Трехточечная перспектива получается, если не равны нулю три первых элемента четвертого столбца -матрицы преобразования. Это трехточечное перспективное преобразование

(3-57)

с обычными координатами

(3-58)

имеет три центра проекции: на оси в точке , на оси в и на оси в , а также три точки схода: на оси в , на оси в и на оси в .

Снова заметим, что трехточечное перспективное преобразование, заданное равенством (3-57), может быть получено конкатенацией трех одноточечных перспективных преобразований, по одному на каждую координатную ось. Создание трехточечной перспективы иллюстрируется на следующем примере.

Пример 3-21 Трехточечное перспективное преобразование

Для описанного в примере 3-18 куба рассмотрим проекцию на плоскость после применения трехточечного перспективного преобразования. Центры проекции находятся в точках и . Точки схода находятся в , и . Матрица преобразования равна

Преобразованные координаты куба

Результат показан на рис. 3-31b. Искаженный в результате перспективного преобразования объект изображен на рис. 3-31с. Отметим, что ребра на рисунке сходятся.

И снова получившийся вид недостаточно информативен, хотя и математически корректен. Соответствующие методы генерации перспективных видов обсуждаются в разд. 3-16.