3-21 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ ПО ПРОЕКЦИЯМ

Задача восстановления трехмерной формы объекта или координат в пространстве широко распространена. Например, она постоянно возникает при использовании чертежей, являющихся ортографическими проекциями.

Рис. 3-48 Результат проецирования в примере 3-29.

Хорошо известен метод восстановления трехмерного объекта или координаты по двум или более представленным на чертеже видам (ортографическим проекциям). Метод же восстановления трехмерного координатного вектора по двум перспективным проекциям, например по двум фотографиям, не столь хорошо известен. Конечно, если метод пригоден для перспективных проекций, то он подходит также и для более простых ортографических проекций и фактически для всех рассмотренных в предыдущих разделах проекций. Как будет показано ниже, при наличии определенной дополнительной информации не надо иметь точную информацию о самом преобразовании.

Прежде чем рассматривать задачу в общем виде, обратимся к специальному случаю восстановления трехмерных координат точки по двум или более ортографическим проекциям. На рис. 3-49 представлены ортографические виды (проекции) спереди, справа и сверху. При определении трехмерных координат точки вид спереди дает значения координат и , вид справа - и , вид сверху - и , т.е.

Заметим, что для каждой координаты мы получаем два значения. В математике в подобном случае говорят, что на задачу наложены избыточные условия. Ведь надо найти только три независимые величины, тогда как известны шесть определяющих их условий (уравнений). Для любой измерительной системы в общем случае , , . Так как неизвестно, какое из значений верно, то наиболее разумным решением будет усреднить их.

Вернувшись теперь к восстановлению трехмерных координат по перспективным проекциям, напомним, что обобщенное перспективное преобразование представляется в виде матриц размера . Таким образом,

где

Рис. 3-49 Восстановление трехмерной формы по ортографическим проекциям.

Результаты могут быть спроецированы на двумерную плоскость, скажем на плоскость , с помощью

Объединение двух матриц дает

Полезно записать это преобразование в виде

. (3-71)

Заметим, что и - это координаты перспективной проекции на плоскость . Могли бы также использоваться проекции на плоскости или . Расписав в явном виде матричное уравнение (3-71), получим

, (3-72 а)

, (3-72 b)

. (3-72 с)

Подставим значение из (3-72с) в уравнения (3-72а) и (3-72b):

, (3-73а)

. (3-73b)

По предложению Сазерленда [3-4] эту пару уравнений можно рассматривать тремя разными способами. В первом предполагаются известными , , , . Тогда у нас есть два уравнения с двумя неизвестными и . Таким образом, эти уравнения можно использовать для непосредственного вычисления координат перспективной проекции. Именно этот подход применялся во всех предыдущих рассуждениях в данной главе.

При другом подходе полагаются известными , , . В этом случае получается два уравнения от трех неизвестных пространственных координат , , . Эту систему уравнений невозможно решить. Однако, если известны две перспективные проекции, скажем две фотографии, тогда уравнения (3-73) можно записать для обеих проекций. В результате получим

где верхние индексы 1 и 2 обозначают первую и вторую перспективные проекции. Заметим, что преобразования и не обязательно должны быть одинаковыми. Эти уравнения можно переписать в матричной форме

, (3-74)

где

Уравнения (3-73) представляют четыре уравнения от трех неизвестных пространственных координат , , . Для нахождения решения матрица не может быть инвертирована, так как она не квадратная. Снова, как и в случае восстановления трехмерных координат по ортографическим проекциям, условия избыточны и, таким образом, задача может быть решена только в некотором усредненном или наиболее подходящем смысле.

Усредненное решение можно вычислить, вспомнив, что матрица, умноженная на свою транспонированную матрицу, является квадратной. Таким образом, умножив обе части уравнения (3-74) на , получим

Вычислив обратную матрицу , получим усредненное решение для , т.е.

. (3-75)

Если решения для нет, то наложенные условия избыточны и не существует единственного решения, обеспечивающего наименьшую ошибку. Этот метод иллюстрируется на примере.

Пример 3-30 Трехмерное восстановление

Предположим, что обмеренные координаты точки на одной перспективной проекции равны и на другой. Первое преобразование перспективной проекции является результатом поворота на вокруг оси и последующего переноса на 2 единицы в отрицательном направлении оси . Точка проекции находится в , а результат проецируется на плоскость . Это действительно является двуточечной перспективной проекцией. Второе преобразование является результатом поворотов на вокруг каждой из осей , . Точка проекции находится в , а результат проецируется на плоскость , т.е. является трехточечной перспективной проекцией. Таким образом преобразования и

и .

Отметим, что последние две строки и должны быть переписаны, чтобы учесть тот факт, что является проецированием на плоскость . Тогда матрица

Решив уравнение, получим , т.е. центр единичного куба.

В качестве третьего подхода к рассмотрению уравнений (3-73) отметим, что если известны координаты нескольких точек в объектном пространстве и на перспективной проекции, то можно найти элементы преобразования . Эти элементы впоследствии можно использовать для нахождения местоположения неизвестных точек, используя описанный выше второй метод. Чтобы показать это, перепишем (3-73) в виде

, (3-76а)

. (3-76b)

В предположении, что известны , , , , , уравнения (3-76а) и (3-76b) представляют два уравнения с 12 неизвестными элементами . Применяя эти уравнения к 6 некомпланарным точкам в объектном пространстве и на перспективной проекции, получим систему из 12 уравнений с 12 неизвестными. Эти уравнения могут быть решены относительно . Таким образом, находится преобразование, породившее перспективную проекцию, например фотографию. Заметим, что в этом случае не требовалось никакой предварительной информации о преобразовании. Если, например, это были фотографии, то не требовалось знать ни о местоположении, ни об ориентации фотокамеры. В матричном виде система уравнений записывается в таком виде:

, (3-77)

где нижние индексы соответствуют точкам с известным местоположением. Уравнения (3-77) записываются в более компактном виде:

Так как уравнения (3-77) являются однородными уравнениями, то они содержат произвольный масштабный коэффициент. Следовательно, можно приравнять единице и нормализовать результирующее преобразование. Система сводится к 11 уравнениям или 5 1/2 точки. Если преобразование нормализовано, то последний столбец в переносится в правую часть и решается неоднородное матричное уравнение. Ниже приводится пример.

Рис. 3-50 Восстановление преобразования по перспективной проекции.

Пример 3-31 Основы восстановления

В качестве конкретного примера рассмотрим единичный куб с шестью известными угловыми точками

Как показано на рис. 3-50, соответствующие им точки на проекции отмечены жирными кружками. Преобразованные координаты этих точек таковы:

Тогда (3-77) записывается в виде

Решение относительно 12 неизвестных элементов такое:

Подстановка этих результатов в матрицу дает