3-20 СРАВНЕНИЕ ДВУХ МЕТОДОВ ПОСТРОЕНИЯ ПРОЕКЦИЙ – С ФИКСИРОВАННЫМ ОБЪЕКТОМ И С ФИКСИРОВАННЫМ ЦЕНТРОМ ПРОЕКЦИИ

Метод проецирования, в котором объект зафиксирован, а перемещается центр проекции, может быть легко преобразован в обсуждавшийся ранее метод с перемещающимся объектом и фиксированным центром. Представляет интерес два случая. В первом, более простом, предполагается, что плоскость проекции перпендикулярна направлению взгляда, направленного из центра проекции к сцене. Во втором случае перпендикулярность не предполагается. Здесь будет рассмотрен только первый случай.

Когда плоскость проекции перпендикулярна направлению взгляда, с помощью описанной ниже процедуры построение проекции можно свести к случаю с движущимся объектом и фиксированным центром проекции:

- найти пересечение линии взгляда и плоскости проекции;

- перенести точку пересечения в начало координат;

- повернуть вектор взгляда таким образом, чтобы он совместился с осью и был направлен к началу системы координат (см. разд. 3-9);

- применить к сцене полученное преобразование;

- выполнить одноточечное перспективное проецирование на плоскость из преобразованного центра проекции, расположенного теперь на оси .

В качестве иллюстрации этого метода приведем относительно простой пример.

Пример 3-29 Перспективное проецирование на перпендикулярную плоскость проекции для фиксированного объекта

Рассмотрим обсуждавшийся ранее в примере 3-10 куб с отсеченным углом. Спроецируем куб из центра в точке на плоскость, проходящую через точку и перпендикулярную направлению взгляда, как это показано на рис. 3-47.

Уравнение плоскости проекции можно получить из ее нормали (другие методы можно найти в [3-1]) . В данном случае нормаль направлена в сторону, противоположную вектору взгляда.

Направление вектора взгляда

Тогда нормаль к плоскости проекции, проходящей через точку перпендикулярно направлению взгляда, будет

Общее выражение уравнения плоскости имеет вид:

Нормаль к такой плоскости задается вектором

Рис. 3-47 Перспективное проецирование с перемещающимся центром проекции.

Значение в уравнении плоскости вычисляется по любой точке, принадлежащей этой плоскости. Тогда уравнение плоскости проекции, проходящей через точку , примет вид:

Следовательно,

есть уравнение плоскости проекции.

Пересечение направления взгляда и плоскости проекции определяется с помощью записи уравнения прямой в параметрическом виде, подстановки его в уравнение плоскости и решения полученного уравнения. Параметрическое уравнение вектора взгляда таково:

, .

Его подстановка в уравнение плоскости приводит к

Решение уравнения дает значение параметра для точки пересечения, т. е.

Саму точку пересечения получаем подстановкой в . А именно,

Как и ожидалось из простых геометрических рассуждений, точка пересечения находится в .

Требуемая матрица переноса (для переноса точки пересечения в начало координат) следующая:

После переноса центр проекции находится в точке , а направление взгляда проходит через начало координат.

Используя результаты разд. 3-9, совместить вектор взгляда с осью можно с помощью поворота вокруг оси на угол и последующего поворота вокруг оси на угол . Матрицы поворотов записываются в виде: