Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


4-7 ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПАРАБОЛЫ

Рассмотрим параболу с вершиной в центре координат, раскрыв вправо, т. е. с осью симметрии - положительной полуосью . На рис. 4-9 изображена верхняя ветвь такой параболы. В прямоугольных координатах непараметрическое представление параболы:

.

Параметрическое представление имеет вид

,

,

где .

229-1.jpg

Рис. 4-8 Эллипс после поворота и переноса.

Хотя оно обеспечивает достаточно хорошее изображение, Смит [4-2] указал, что получаемая фигура не является фигурой с максимальной вписанной площадью и поэтому это не оптимальный вариант. Другое параметрическое представление действительно дает фигуру с наибольшей вписанной площадью:

,

,                    (4-9)

где  соответствует всей верхней ветви параболы. В отличие от эллипса парабола не замкнутая кривая, поэтому изображаемая часть должна быть ограничена минимальным и максимальным значением параметра.

229-2.jpg

Рис. 4-9 Парабола.

230.jpg

Рис. 4-10 Параметрическая сгенерированная парабола.

Это можно сделать несколькими способами. Если диапазон изменения координаты  ограничен, то

, .                   (4-10)

Если ограничен диапазон изменения , то

, .             (4-11)

Установив  и/или , можно построить параболу в первом квадранте. Параболы в других квадрантах, со смещенным центром и в других ориентациях строятся с помощью отражения, поворота и переноса.

Параболу можно построить также, пользуясь приращениями параметра. Пусть на параболе задано фиксированное количество точек, т.е. приращение параметра  постоянно. Для  уравнение (4-9) принимает вид

,

.

Используя уравнение (4-9) с , перепишем формулы

,

.                   (4-12)

Расчет очередной точки требует трех сложений и одного умножения во внутреннем цикле алгоритма. На рис. 4-10 приведен пример параболы, сгенерированной по рекурсивным формулам (4-12).

Пример 4-5 Параметрическое представление параболы

Построить параболический сегмент в первом квадранте при  для параболы

,

при .

Сначала найдем границы . В соответствии с уравнением (4-10)  и  определяются так:

,

.

Пусть на сегменте расположено 10 точек, тогда

.

Начиная с , , из уравнения (4-9) получаем

.

Из уравнения (4-12)

,

.

Окончательный результат приведен в табл. 4-5 и на рис. 4-11.

Таблица 4-5 Результаты для сегмента параболы

1

1.0

2.0

2

1.235

2.222

3

1.494

2.444

4

1.778

2.667

5

2.086

2.889

6

2.420

3.111

7

2.778

3.333

8

3.160

3.556

9

3.568

3.778

10

4.0

4.0

В некоторых случаях более удобны другие параметрические представления, вид которых зависит от прикладной задачи и имеющихся данных. Например, если надо нарисовать дугу параболы между двумя точками и учитывать наклон, то предлагается следующее представление:

,

, , (4-13)

где  - параметр, а две конечные точки  и . Точка  это точка пересечения касательных в конечных точках. Три вершины , ,  определяют параболу, как показано на рис. 4-12. Более общий метод построения кривых с помощью вершин незамкнутого многоугольника был разработан Безье и рассматривается в следующей главе.

232-1.jpg

Рис. 4-11 Сегмент параболы.

232-2.jpg

Рис. 4-12 Задание параметрической параболы вершинами.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>