4-7 ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПАРАБОЛЫ

Рассмотрим параболу с вершиной в центре координат, раскрыв вправо, т. е. с осью симметрии - положительной полуосью . На рис. 4-9 изображена верхняя ветвь такой параболы. В прямоугольных координатах непараметрическое представление параболы:

Параметрическое представление имеет вид

где .

Рис. 4-8 Эллипс после поворота и переноса.

Хотя оно обеспечивает достаточно хорошее изображение, Смит [4-2] указал, что получаемая фигура не является фигурой с максимальной вписанной площадью и поэтому это не оптимальный вариант. Другое параметрическое представление действительно дает фигуру с наибольшей вписанной площадью:

, (4-9)

где соответствует всей верхней ветви параболы. В отличие от эллипса парабола не замкнутая кривая, поэтому изображаемая часть должна быть ограничена минимальным и максимальным значением параметра.

Рис. 4-9 Парабола.

Рис. 4-10 Параметрическая сгенерированная парабола.

Это можно сделать несколькими способами. Если диапазон изменения координаты ограничен, то

, . (4-10)

Если ограничен диапазон изменения , то

, . (4-11)

Установив и/или , можно построить параболу в первом квадранте. Параболы в других квадрантах, со смещенным центром и в других ориентациях строятся с помощью отражения, поворота и переноса.

Параболу можно построить также, пользуясь приращениями параметра. Пусть на параболе задано фиксированное количество точек, т.е. приращение параметра постоянно. Для уравнение (4-9) принимает вид

Используя уравнение (4-9) с , перепишем формулы

. (4-12)

Расчет очередной точки требует трех сложений и одного умножения во внутреннем цикле алгоритма. На рис. 4-10 приведен пример параболы, сгенерированной по рекурсивным формулам (4-12).

Пример 4-5 Параметрическое представление параболы

Построить параболический сегмент в первом квадранте при для параболы

при .

Сначала найдем границы . В соответствии с уравнением (4-10) и определяются так:

Пусть на сегменте расположено 10 точек, тогда

Начиная с , , из уравнения (4-9) получаем

Из уравнения (4-12)

Окончательный результат приведен в табл. 4-5 и на рис. 4-11.

Таблица 4-5 Результаты для сегмента параболы


1	1.0	2.0
2	1.235	2.222
3	1.494	2.444
4	1.778	2.667
5	2.086	2.889
6	2.420	3.111
7	2.778	3.333
8	3.160	3.556
9	3.568	3.778
10	4.0	4.0

В некоторых случаях более удобны другие параметрические представления, вид которых зависит от прикладной задачи и имеющихся данных. Например, если надо нарисовать дугу параболы между двумя точками и учитывать наклон, то предлагается следующее представление:

, , (4-13)

где - параметр, а две конечные точки и . Точка это точка пересечения касательных в конечных точках. Три вершины , , определяют параболу, как показано на рис. 4-12. Более общий метод построения кривых с помощью вершин незамкнутого многоугольника был разработан Безье и рассматривается в следующей главе.

Рис. 4-11 Сегмент параболы.

Рис. 4-12 Задание параметрической параболы вершинами.