4-8 ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГИПЕРБОЛЫ

Построим гиперболу с центром в начале координат и осью симметрии, совпадающей с осью . Ее непараметрическое представление в прямоугольных координатах:

При этом вершина находится в точке , оси асимптот . Вид параметрического представления:

, (4-14)

где , дает искомую гиперболу. Смит [4-2] указывает, что для такого представления площадь вписанного многоугольника не максимальна. Однако она близка к максимальной, и с помощью формулы суммы углов можно получить эффективный алгоритм. Вспомним, что

Подставим в уравнения (4-14)

Используя уравнения (4-14) с , перепишем эти уравнения как

. (4-15)

Другое параметрическое представление гиперболы, дающее максимальную вписанную площадь:

. (4-16)

Гиперболические функции определяются как и . При изменении от 0 до бесконечности проходится вся гипербола. Формула для суммы углов для и

Это позволяет записать уравнения (4-16) как

или

. (4-17)

Чтобы ограничить область гиперболы, необходимо установить минимальное и максимальное значения. Пусть ветвь гиперболы лежит в первом и четвертом квадранте и рассматривается часть при . Тогда

, (4-18)

где обратный гиперболический косинус получен как

. (4-19)

Остальные границы определяются аналогично. Пример части гиперболы в первом квадранте, полученной этим методом, показан на рис. 4-13.

Пример 4-6 Параметрическая гипербола

С помощью параметрического представления (4-16) найти восемь точек на сегменте гиперболы в первом квадранте при , , для . Сначала определим границы параметра из уравнений (4-18) и (4-19)