Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


4-8 ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГИПЕРБОЛЫ

Построим гиперболу с центром в начале координат и осью симметрии, совпадающей с осью . Ее непараметрическое представление в прямоугольных координатах:

.

При этом вершина находится в точке , оси асимптот . Вид параметрического представления:

,

,                (4-14)

где , дает искомую гиперболу. Смит [4-2] указывает, что для такого представления площадь вписанного многоугольника не максимальна. Однако она близка к максимальной, и с помощью формулы суммы углов можно получить эффективный алгоритм. Вспомним, что

и

.

Подставим в уравнения (4-14)

,

.

Используя уравнения (4-14) с , перепишем эти уравнения как

,

.                    (4-15)

Другое параметрическое представление гиперболы, дающее максимальную вписанную площадь:

,

.                  (4-16)

Гиперболические функции определяются как  и . При изменении от 0 до бесконечности проходится вся гипербола. Формула для суммы углов для и

,

.

Это позволяет записать уравнения (4-16) как

,

или

,

.                      (4-17)

Чтобы ограничить область гиперболы, необходимо установить минимальное и максимальное значения. Пусть ветвь гиперболы лежит в первом и четвертом квадранте и рассматривается часть при . Тогда

,

,            (4-18)

где обратный гиперболический косинус получен как

.                 (4-19)

Остальные границы определяются аналогично. Пример части гиперболы в первом квадранте, полученной этим методом, показан на рис. 4-13.

Пример 4-6 Параметрическая гипербола

С помощью параметрического представления (4-16) найти восемь точек на сегменте гиперболы в первом квадранте при , , для . Сначала определим границы параметра из уравнений (4-18) и (4-19)

.

Аналогично,

.

Итак,

и

,

.

235.jpg

Рис. 4-13 Параметрическая гипербола.

Уравнения (4-16) с  дают

,

.

Затем из уравнений (4-17)

.

.

Результаты вычислений приведены в табл. 4-6 и выделены жирной линией на рис. 4-13.

Таблица 4-6 Результаты для сегмента гиперболы

1

4

1.732

2

4.393

1.956

3

4.836

2.201

4

5.334

2.472

5

5.892

2.771

6

6.518

3.102

7

7.218

3.468

8

8

3.873

 

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>