5-2 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ

Трехмерные кривые можно представить параметрически или непараметрически. Явное непараметрическое представление имеет вид

,

,

.

Неявное непараметрическое представление кривой как пересечения двух поверхностей задается уравнениями:

,

.

Пример 5-1 Пространственная кривая      Найти линию пересечения двух поверхностей второго порядка , . При условиях что , ,  и  можно выразить относительно  и получить явный вид линии пересечения , . Заметим, что при пересечении двух поверхностей второго порядка получается кривая третьего порядка. Поверхности и кривая пересечения показаны на рис. 5-2.

Рис. 5-2 Пересечение кривых второго порядка.

Общий параметрический вид пространственной кривой можно записать в виде:

,

,

,

где параметр  изменяется в определенных пределах . В приведенном выше явном непараметрическом представлении  можно рассматривать как параметр, . Тогда эта же кривая имеет параметрическую форму

,

,

.

Далее, пусть  в неявном непараметрическом представлении из примера 5-1, тогда

,

,

.

Некоторые полезные параметрические трехмерные кривые имеют известное аналитическое решение. Например, кривая шва на теннисном или бейсбольном мяче имеет вид:

,

,

,

где

,

,

параметр  и .

Рис. 5-3 Примеры параметрических пространственных кривых, (а) Шов бейсбольного мяча; (b) круговая спираль.

Если  и , то кривая лежит на сфере радиуса . На рис. 5-3а приведен пример для , , , , где кривая лежит на сфере радиуса 2.

Другой пример параметрической пространственной кривой - круговая спираль:

,

,

для , .

Рис. 5-4 Физические отвесы и сплайн.

Эта кривая лежит на поверхности цилиндра радиуса . Уравнение  отвечает за распространение спирали по оси . После каждого изменения параметра  на  переменные  и  возвращаются к своим первоначальным значениям, a  увеличивается или уменьшается на  в зависимости от знака . Эта величина называется шагом спирали. Пример изображен на рис. 5-3b.