5-2 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ
Трехмерные кривые можно представить параметрически или непараметрически. Явное непараметрическое представление имеет вид
,
,
.
Неявное непараметрическое представление кривой как пересечения двух поверхностей задается уравнениями:
,
.
Пример 5-1 Пространственная кривая
Найти линию пересечения двух поверхностей второго порядка
,
.
При условиях что
,
, и можно выразить относительно и получить явный вид линии пересечения
,
.
Заметим, что при пересечении двух поверхностей второго порядка получается кривая третьего порядка. Поверхности и кривая пересечения показаны на рис. 5-2.
|

Рис. 5-2 Пересечение кривых второго порядка.
Общий параметрический вид пространственной кривой можно записать в виде:
,
,
,
где параметр
изменяется в определенных пределах
. В приведенном выше явном непараметрическом представлении
можно рассматривать как параметр,
. Тогда эта же кривая имеет параметрическую форму
,
,
.
Далее, пусть
в неявном непараметрическом представлении из примера 5-1, тогда
,
,
.
Некоторые полезные параметрические трехмерные кривые имеют известное аналитическое решение. Например, кривая шва на теннисном или бейсбольном мяче имеет вид:
,
,
,
где
,
,
параметр
и
.

Рис. 5-3 Примеры параметрических пространственных кривых, (а) Шов бейсбольного мяча; (b) круговая спираль.
Если
и
, то кривая лежит на сфере радиуса
. На рис. 5-3а приведен пример для
,
,
,
, где кривая лежит на сфере радиуса 2.
Другой пример параметрической пространственной кривой - круговая спираль:
,
,

для
,
.

Рис. 5-4 Физические отвесы и сплайн.
Эта кривая лежит на поверхности цилиндра радиуса
. Уравнение
отвечает за распространение спирали по оси
. После каждого изменения параметра
на
переменные
и
возвращаются к своим первоначальным значениям, a
увеличивается или уменьшается на
в зависимости от знака
. Эта величина называется шагом спирали. Пример изображен на рис. 5-3b.