Глава 2. Помехоустойчивость типовых систем радиосвязи с ППРЧ и частотной манипуляцией

2.1. Условная вероятность ошибки на бит информации при двоичной ЧМ

Средняя вероятность ошибки на бит информации, характеризующая помехоустойчивость СРС в целом, в значительной мере определяется возможностями демодулятора по обработке входного процесса на интервале , представляющего в частном случае аддитивную смесь сигнала, собственных шумов приемника СРС и организованных помех. В свою очередь, возможности демодулятора оцениваются условной вероятностью ошибки (УВО) на бит информации. Для определения УВО рассмотрим типовую структурную схему демодулятора некогерентных двоичных ЧМ сигналов, изображенную на рис. 2.1.

Рис. 2.1.

При проведении анализа примем, что полосовые фильтры каналов демодулятора имеют прямоугольную АЧХ с полосой пропускания , центральные частоты фильтров . Амплитудные детекторы надежно сглаживают высокочастотные колебания и успевают следить за огибающей сигнала. Решение относительно переданного символа (1 или 0) принимается в соответствии со значением выходной статистики  ( - статистики решения), которое сравнивается с пороговым (нулевым) уровнем. Положим, что при  принимается решение в пользу символа 1, при - в пользу символа 0. Решение будет принято с ошибкой, если при передаче символа 1 окажется, что , и, наоборот, при передаче символа 0 – .

Полагаем, что на вход канала «единица» поступает полезный сигнал

                                                  (2.1)

где ,  - амплитуда и частота сигнала.

Кроме того, на входе каждого из полосовых фильтров (ПФ) демодулятора действуют гауссовский шум с равномерной спектральной плотностью мощности, обусловленный шумовой помехой и собственными шумами приемника, а также узкополосная помеха

                                         (2.2)

где  - амплитуда, частота и фаза помехи.

На выходе полосовых фильтров ограниченный по полосе белый гауссовский шум (БГШ) можно представить как квазигармоническое колебание

                                      (2.3)

где  и  – низкочастотные квадратурная и синфазная составляющие случайных нормальных процессов.

С учетом (2.1), (2.2) и (2.3) результирующие сигналы на выходе полосовых фильтров можно записать в виде:

         (2.4)

Используя результаты [34], изложим вывод общего выражения для УВО на бит , которое широко применяется при оценке помехоустойчивости типовых некогерентных СРС с ППРЧ. С учетом зависимостей:  статистики  и  на выходе детекторов огибающей можно представить следующим образом

                                              (2.5)

где

                                (2.6)

                                        (2.7)

В (2.6) и (2.7)  характеризует момент отсчета, в который выносится решение о приеме информационного символа. В силу того, что ограниченный по полосе БГШ является процессом с нулевым средним, математические ожидания случайных величин  определяются из выражений:

                                          (2.8)

                                               (2.9)

Так как  являются независимыми и нормально распределенными случайными величинами, то при заданных значениях  плотность их совместного распределения на выходе детектора огибающей каналов «единица» и «нуль» описывается двумерным нормальным распределением

;                              (2.10)

,                              (2.11)

где  - средняя мощность гауссовских шумов в каналах «единица» и «нуль», соответственно; так как собственные шумы приемника и шумовая помеха независимы, то  - мощность собственных шумов и шумовой помехи в каналах приемника.

Переходя от декартовых координат к полярным и учитывая (2.5), выражения (2.6) и (2.7) запишем в виде:

                                                    (2.13)

На основе (2.10) и (2.11) плотности совместного распределения  и ,  и  примут вид:

   (2.13)

   (2.14)

Для определения плотности вероятности огибающих  и   – необходимо проинтегрировать функции  и  по . В результате получим, что распределение статистик z1 и z2 описывается законом Райса

                                  (2.15)

                 (2.16)

где  - модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, интегральное представление которой имеет вид:

                                        (2.17)

независимо от ; функция Бесселя ;

                 (2.18)

Так как был передан сигнал  (символ 1), то в соответствии с правилом принятия решения вероятность ошибки может быть выражена зависимостью

                         (2.18)

Подставляя (2.15) и (2.16) в (2.18) и выполнив ряд преобразований, получим

                                     (2.19)

где  - функция Райса,

                                             (2.20)

  - функция Маркума.

                                                                      (2.21)

В дальнейшем неоднократно приходится обращаться к функции Маркума , поэтому приведем ее частные случаи, асимптотические формулы и представление в виде ряда [35]:

                                                 (2.22a)

                       (2.22б)

           (2.22в)

              (2.22г)

                           (2.22д)

Интеграл (2.19) может быть определен с помощью тождества [34]

           (2.23)

где .

Осуществляя преобразования и переходя к используемым в выражении (2.19) обозначениям, получим вероятность ошибки в приеме символа 1

         (2.24)

Выражение (2.24) позволяет определить вероятность ошибки  для постоянных параметров  и ,. Однако эти параметры в реальных условиях передачи информации могут изменяться случайным образом от одного бита к другому. В этом случае результирующая вероятность ошибки может быть вычислена путем интегрирования произведения вероятности (2.24) и плотности совместного распределения  и , . С целью получения сравнительно простых расчетных зависимостей УВО на бит  предположим, что на входе демодулятора действует узкополосная помеха с угловой модуляцией и постоянной амплитудой . Так как фаза помехи  изменяется несинхронно с несущей частотой сигнала , то ее можно принять как равномерно распределенную в пределах . При этих условиях вероятность ошибки при передаче сигнала (символа 1) будет иметь вид:

                                    (2.25)

При передаче сигнала , соответствующего символу 0,

                                      (2.26)

выражение для УВО в приеме символа 0 определяется аналогичным путем. В результате имеем:

  (2.27)

где

                                           (2.28)

Полагая, как и выше, что амплитуда узкополосной помехи постоянна, , , а фаза  распределена равномерно на интервале, получаем:

                                               (2.29)

Считая, что передача символов 1 и 0 равновероятна, УВО на бит  определяется суммой (2.25) и (2.29)

                                                 (2.30)

Подставляя приведенные выше выражения в (2.30), будем иметь:

             (2.31)

где .

Обобщенное выражение (2.31) позволяет определять УВО на бит при воздействии шумовых и узкополосных помех на основной или дополнительный канал, а также одновременно на основной и дополнительный каналы демодулятора.

Так, УВО на бит при попадании в оба канала демодулятора только узкополосных помех равной мощности определяется подстановкой  в (2.31). В результате имеем, что

  (2.32)

где ;  - мощность принятого сигнала.

При воздействии только шумовых помех разной мощности  и  на основной и дополнительный каналы демодулятора, мощность собственных шумов которых  и , УВО на бит  на основе (2.31) определяется из выражения

                                    (2.34)

Из (2.33) следует, что  является функцией суммы, поэтому распределение мощности шумовой помехи между каналами демодулятора не влияет на УВО. Если в каналах демодулятора действуют шумовые помехи с равной мощностью и , то учитывая (2.33),

                                         (2.34)

При наличии в каналах демодулятора только собственных шумов приемного устройства с дисперсией  из (2.34) следует известное выражение для вероятности ошибки при некогерентном приеме двоичных ортогональных сигналов

                                                              (2.35а)

или

,                                                               (2.35б)

где  и  - энергия сигнала на бит и спектральная плотность мощности собственных шумов приемника на выходе полосовых фильтров.

При дальнейшей оценке воздействия помех на СРС с ППРЧ будем полагать, что при демодуляции сигналов реализован некогерентный (по огибающей) обнаружитель максимального правдоподобия, который при равновероятной передаче информационных символов обеспечивает минимальную вероятность ошибки. При таком обнаружителе, где  - отношение энергии сигнала на бит к спектральной плотности мощности организованной помехи;  - мощность помехи.