Приложение П.6.2. Верхняя граница вероятности правильного обнаружения

Покажем, что

                     (П.6.2.1)

и

 при .                      (П.6.2.2)

Введем для доказательства (П.6.2.1) и (П.6.2.2) вспомогательные функции

                (П.6.2.3)

и

.                       (П.6.2.4)

При любом непоследовательном алгоритме обнаружения  и  функционально связаны, т.е. . Поэтому рассмотрим поведение функций  и  на кривой . Непосредственной проверкой убеждаемся, что при выполнении (6.50) функция , где . При  имеем  и . Следовательно,  - возрастающая по  функция и при  неравенство (П.6.2.1) всегда выполняется. Тогда (П.6.2.1) выполняется в любой точке  и, в частности на кривой . Докажем (П.6.2.4). Дифференцируя по , имеем для частной производной . Непосредственной проверкой убеждаемся, что . Следовательно,  на всем единичном квадрате , т.е. и на кривой  и, таким образом, имеет место неравенство (П.6.2.1).