8.3.3. Модель обнаружителя типа сумматора с блоком фильтров при перехвате сигналов с медленной ППРЧ

Несмотря на широкую известность описанного выше обнаружителя типа СБФ, устанавливаемое в нем значение порога обнаружения четко не определено. Известно лишь, что порог имеет квазиоптимальное значение, при котором РХ обнаружителя типа СБФ (вероятность обнаружения сигнала при фиксированной вероятности ложной тревоги) оказывается наилучшей. В то же время в известной литературе значение порога приводится иногда с таким разбросом, что практическая ценность этих сведений минимальна. Так, например, в [81] указывается, что квазиоптимальное значение порога лежит между 5 и 25. Одной из причин такого положения является сложность модели обнаружителя, используемой для оценки его эффективности.

Ниже рассмотрена аналитическая модель квазиоптимального обнаружителя типа СБФ при перехвате сигналов с медленной ППРЧ [91]. При этом делаются некоторые предположения, позволяющие более четко отразить основные этапы обработки сигналов в обнаружителе.

В качестве объекта РТР будем анализировать некогерентную СРС с медленной ППРЧ, в которой для передачи информации используется -ичная ЧМ. „Медленность" ППРЧ предполагает, что интервал между скачками частоты  в несколько раз превышает длительность символа данных , так что в течение одного интервала (скачка) ППРЧ передается  символов.

На входе обнаружителя типа СБФ переданный сигнал СРС в -м символе данных на -м интервале ППРЧ имеет вид:

                    (8.27)

где  - мощность сигнала в полосе приема (энергия символа );  - центральная частота ППРЧ на -м интервале ;  - мгновенная полоса частот одного символа (скорость передачи, );  - случайная фаза символа;  - одно из  значений символов .

Отводимая СРС для передачи полоса частот  разбивается на  информационных каналов, каждый с полосой , . Все информационные каналы примыкают один к другому без перекрытия и совместно перестраиваются на любую центральную частоту в полосе .

Конкретная центральная частота ППРЧ  на -м интервале равновероятно принимает одно из  значений равноразнесенных частот, которые статистически независимы от скачка к скачку. Приведенные определения проиллюстрированы на рис.8.10 для случая двоичной ЧМ .

Рис. 8.10.

Любой -й символ данных на -м интервале ППРЧ, обозначаемый как , равновероятно принимает одно из значений  и является статистически независимым от символа к символу. Полагаем, что фаза принимаемого сигнала  в течение -го символа на -м интервале ППРЧ постоянна и равномерно распределена в пределах  и независима от символа к символу.

Ограниченный по полосе сигнал  принимается обнаружителем типа СБФ на фоне АБГШ  с двусторонней спектральной плотностью .

В течение каждого интервала наблюдения  за принимаемым сигналом  должно быть принято решение в пользу одной из гипотез:

                   (8.28)

В целях упрощения анализа положим, что в интервале наблюдения  содержится целое число интервалов (скачков) ППРЧ, . Предполагается также, что в обнаружителе установлена частотная и временная синхронизация с принимаемым сигналом, т.е. известны , положение каналов ППРЧ в частотной области, время начала и окончания скачков частоты. В этом случае РТР располагает 5-м уровнем осведомленности о параметрах СРС. При приведенных выше предположениях результаты обнаружения являются наихудшими для СРС, т.е. сигналы СРС будут обнаруживаться с высокой вероятностью.

Структурная схема обнаружителя типа СБФ изображена на рис.8.11 [91]:

Рис. 8.11.

Данный обнаружитель является многоканальным, каждый фильтр которого перекрывает одну -ичную полосу шириной  из  полос ППРЧ. Таким образом, могут быть обработаны все  информационных сигналов, если они присутствуют на входе обнаружителя. В каждом канале производится формирование квадрата огибающей сигнала с интегрированием по длительности символа, если полоса пропускания фильтра превышает ширину полосы сигнала (при -ичной ЧМ - в  раз). Затем  символов данных, содержащихся в одном интервале ППРЧ, суммируются и по окончании каждого такого интервала принимается „жесткое" решение относительно наличия входного сигнала, основанное на сравнении с порогом  суммарного сигнала . Если порог  превышается хотя бы в одном канале на данном интервале, то принимается решение о наличии сигнала и вентиль ИЛИ генерирует 1, в противном случае на его выходе появляется 0. Эти промежуточные жесткие решения суммируются по всем  интервалам в течение времени наблюдения  и полученный результат сравнивается со вторым порогом . В решающем устройстве принимается окончательное решение относительно гипотезы  или . Таким образом, задача обнаружителя состоит в совместной оптимизации двух порогов для получения наилучшей РХ, т.е. минимальной вероятности пропуска сигнала  при фиксированной вероятности ложной тревоги . Фактически независимым является только порог , поскольку порог  определяется через  и .

Приведенная на рис.8.11 структурная схема обнаружителя имеет определенное сходство со схемой радиолокационного обнаружителя, реализующего метод обнаружения по совпадению (метод " из "). Отличием рассматриваемого обнаружителя является его многоканальность, в связи с чем он содержит два дополнительных элемента: сумматор по 1 и вентиль ИЛИ. Это усложняет аналитическую модель и не в полной мере позволяет использовать разработанную в теории радиолокации методику.

Рассмотрим последовательно формирование вероятностных характеристик обнаружителя типа СБФ на каждом из этапов обработки сигнала.

Первый этап завершается сравнением случайной переменной  с порогом  в каждом канале. Случайная переменная , полученная в результате преобразований, показанных на рис.8.11, распределена по закону  с  степенями свободы, причем это распределение является центральным при отсутствии сигнала и нецентральным - при его наличии. Paнee указывалось, что при большом числе суммируемых независимых отсчетов  -распределения с высокой точностью могут быть аппроксимированы гауссовскими распределениями. С учетом гауссовской аппроксимации вероятность ложной тревоги  и вероятность обнаружения  запишем в виде:

;                        (8.29а)

,                        (8.29б)

где  - функция Крампа (см. табл. 3.1),  и  - среднее значение и дисперсия переменной  при наличии и отсутствии сигнала, соответственно.

В свою очередь, с учетом ряда преобразований можно показать, что

,                   (8.30)

где  - мощность шума в полосе фильтра , ;  - отношение сигнал-шум в полосе фильтра, .

С учетом (8.29б) и (8.30) получаем

.                (8.31)

На втором этапе обработки выходные сигналы всех каналов подаются на вход вентиля ИЛИ. Как отмечено выше, на выходе вентиля образуется 1 (сигнал присутствует), если хотя бы в одном из  каналов превышен порог, и 0 (сигнал отсутствует) - в противном случае. Этот процесс приводит к обнаружению с вероятностью  и ложной тревоге - с вероятностью . Известно, что

;                       (8.32а)

.                (8.32б)

На последнем, третьем этапе обработки производится суммирование единиц, генерируемых вентилем ИЛИ, на протяжении  скачков частоты, имевших место в течение времени наблюдения , и сравнение полученной суммы с порогом . Случайная величина на выходе сумматора по  интервалам ППРЧ подчиняется биноминальному закону, и полные вероятности ложной тревоги  и пропуска сигнала , характеризующие обнаружитель в целом, приобретают вид:

;               (8.33а)

.                     (8.33б)

Таким образом, получены все необходимые выражения, описывающие аналитическую модель обнаружителя типа СБФ и позволяющие определять его РХ, т.е. зависимость вероятности пропуска  (или вероятности обнаружения , которая равна ) от отношения сигнал-шум при фиксированном значении вероятности ложной тревоги . Для конкретных расчетов должны задаваться значения следующих системных параметров: , а также какое-либо значение порога  (его оптимизация осуществляется перебором).

Процедура расчета РХ обнаружителя типа СБФ имеет следующий порядок:

1. Исходя из заданных значений  и , из уравнения (8.33а) численным методом определяется .

2. С использованием найденного значения  и заданного значения  из уравнения (8.32а) находится

.                       (8.34)

3. С использованием полученного значения , из уравнения (8.29а) определяется нормированный порог .

4. После подстановки в (8.31) найденного значения порога , заданного значения  и одного из текущих значений  из уравнения (8.29а) определяется .

5. Применяя вычисленные значения  и , а также заданное значение , из уравнения (8.32б) находится .

6. Учитывая полученное значение  и заданные значения  и , из уравнения (8.33б) находим искомое значение , которое и определяет одну точку на РХ обнаружителя типа СБФ (точку, соответствующую одному из значений ).

Для получения следующих точек на РХ последовательно задаются значения , и с использованием этапов 4-6 изложенной процедуры определяются соответствующие значения  до тех пор, пока не будет построена вся РХ обнаружителя при данном значении порога . Аналогично определяются РХ обнаружителя при других значениях , пока не будет найдена наилучшая из них, т.е. лежащая ниже других. Во избежание потери информации расчеты следует начинать с  с последовательным приращением на единицу.

Отметим важное обстоятельство. На практике часто требуется не только провести оптимизацию того или иного типа обнаружителя, но и выбрать сам этот тип, исходя из предъявляемых к нему требований. В этом случае сравнение РХ, построенных в виде функций отношения , невозможно, поскольку это отношение является индивидуальным свойством каждого типа обнаружителя, отличающегося от других шириной полосы пропускания канала и временем наблюдения (напомним, что ) , где  - ширина полосы фильтра.) В связи с этим используют так называемое эквивалентное отношение сигнал-шум , имеющее вид

.                 (8.35)

Это отношение отражает исходное соотношение мощностей сигнала и шума и не зависит от типа обнаружителя. Очевидно

.             (8.36)

Пример расчета РХ обнаружителя типа СБФ по изложенной выше методике. Пусть осуществляется перехват сигналов СРС с медленной ППРЧ и двоичной ЧМ со следующими параметрами [92]:

.

Отсюда следует, что

Интервал наблюдения  в обнаружителе типа СБФ принимается равным 0,2 с. Отсюда число последовательных интервалов ППРЧ .

На рис.8.12 показаны РХ обнаружителя типа СБФ, рассчитанные в соответствии с приведенной выше процедурой при  и .

Рис. 8.12.

Для сравнения на рис.8.12 изображена РХ широкополосного обнаружителя (радиометра), охватывающего весь диапазон частот 10 МГц с интегрированием в течение 0,2 с. Дополнительно, в целях иллюстрации наличия квазиоптимального значения порога  на рис.8.13 приведены срезы РХ обнаружителя типа СБФ (зависимости  от ) при значениях , равных -33 дБ и -33,8 дБ.

Рис. 8.13.

Приведенные графики, помимо иллюстрации применимости изложенной методики, позволяют сделать следующие выводы:

1) квазиоптимальное значение порога обнаружения  существует: в данном случае оно равно 4; 2) несмотря на незначительность сдвига РХ по оси  их высокая крутизна является причиной того, что отступление от квазиоптимальности при установлении порога  может значительно ухудшить РХ обнаружителя: так, опорная точка РХ  в оптимуме (при ) достигается при  дБ, и отступление от оптимума к  и  увеличивает  до  и , соответственно; 3) в рассматриваемом случае обнаружитель типа СБФ значительно эффективнее радиометра; так, например, в опорной точке РХ  требуемое  для обнаружителя типа СФБ - на 8,7 дБ меньше, чем для радиометра; 4) имеется основание полагать, что для данной модели обнаружителя сигналов с медленной ППРЧ квазиоптимальное значение порога  близко к целой части , где ,  - интервал наблюдения за принимаемым сигналом.