Приложение П.8.1. Алгоритмы вычисления обобщенной Q-функции Маркума

П.8.1.1. Постановка задачи

При обнаружении сигналов в гауссовском шуме с равномерной спектральной плотностью мощности в пределах рассматриваемой полосы частот статистика, по которой принимается решение, имеет нецентральное -распределение. При этом параметр нецентральности равен удвоенному отношению сигнал-шум , число степеней свободы равно удвоенному произведению длительности наблюдения на ширину полосы пропускания входных цепей обнаружителя . В отсутствии сигнала статистика имеет центральное -распределение. Поэтому для расчета вероятностей ложной тревоги и обнаружения сигналов требуется вычислять интегралы от плотности вероятностей -распределения с  степенями свободы, которое определяется следующим образом. Если  - независимые нормально распределенные случайные величины с параметрами , соответственно, то распределение случайной величины

                     (П.8.1.1)

называется нецентральным -распределением с  степенями свободы и параметром нецентральности

.                       (П.8.1.2)

При  распределение называется центральным -распределением.

Классические алгоритмы расчета нецентрального -распределения, применяемые в математической статистике, становятся малоэффективными при тех значениях параметров, которые имеют место в задачах обнаружения. Поэтому в настоящее время не ослабевает интерес к разработке эффективных алгоритмов расчета функции нецентрального -распределения с высокой точностью, о чем свидетельствует ряд публикаций [87,98-106]. При этом расчет рабочих характеристик обнаружителей выделен в специфическую задачу, связанную с вычислением обобщенной -функции Маркума или -функции. Алгоритмы расчета указанных функций используют разложение в степенные ряды [100,101] или ряды по функциям Бесселя (ряды Неймана) [102,103], численное интегрирование, основанное на методе перевала вычисления контурных интегралов [105,106], а также различные варианты гауссовской аппроксимации.

Ниже приводятся систематизация разрозненных подходов к расчету распределения , модификация алгоритмов, анализ вычислительной устойчивости и границ применимости, сравнение результатов, полученных по различным алгоритмам.

Как известно [87,98,99], рабочие характеристики энергетических обнаружителей: вероятности  - ложного обнаружения,  - обнаружения и  - пропуска сигнала выражаются через интегральные функции центрального и нецентрального -распределения

,                    (П.8.1.3)

где

 -                (П.8.1.4)

интегральная функция центрального -распределения;

 -               (П.8.1.5)

интегральная функция нецентрального -распределения;  - порог обнаружения;  - число степеней свободы (,  - время,  - ширина полосы).

В классическом варианте нецентральное -распределение выражается через центральное. Действительно, плотность вероятностей для нецентрального -распределения с учетом представления функции Бесселя в виде степенного ряда

                   (П.8.1.6)

запишется следующим образом

,              (П.8.1.7)

где

 -                       (П.8.1.8)

плотность вероятностей центрального -распрсделения. После интегрирования (П.8.1.7) получим выражение для функции распределения

,                    (П.8.1.9)

где для четных

.                     (П.8.1.10)

Таким образом, после подстановки (П.8.1.10) в (П.8.1.9) получим выражение для  в виде степенного ряда

.                     (П.8.1.11)

Исторически сложилось, что наряду с распространенным в математической статистике центральным и нецентральным -распределением в задачах обнаружения рассматриваются обобщенная -функция Маркума и  - функция, которые с помощью замены переменных сводятся к распределению . Для этих функций имеют место следующие интегральные представления [100-102]:

,                      (П.8.1.12)

где  и  - параметры;

                       (П.8.1.13)

обозначает вероятность некогерентного обнаружения  импульсов;  - отношение сигнал-шум для одного импульса;  - нормированный порог обнаружения.

Между указанными функциями существует взаимосвязь:

                      (П.8.1.14)

Таким образом, имея расчетные формулы для одной из функций, можно рассчитать другие функции, а, следовательно, и рабочие характеристики обнаружителей.

Для расчета обобщенной -функции Маркума хорошо известно представление в виде ряда Неймана [102]:

;               (П.8.1.15)

.             (П.8.1.16)

Представления через степенные ряды (П.8.1.11) и ряды Неймана (П.1.15), (П.1.16) являются основой для построения целого ряда эффективных вычислительных алгоритмов.

Для удобства сравнения с результатами, опубликованными в первоисточниках, сохраним обозначения, используемые в них.