Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


П.8.1.4. Численное интегрирование

Алгоритмы вычисления, основанные на представлении в виде степенных рядов или рядов Неймана, при больших значениях параметров теряют вычислительную устойчивость из-за переполнения или исчезновения порядка. В связи с этим вычислительный рекуррентный процесс может прерваться не достигнув заданной точности. Поэтому при определенных значениях параметров целесообразно использовать численные методы вычисления интеграла. Однако применение вычислительных процедур непосредственно к интегралу (П.8.1.12) или (П.8.1.13) не всегда гарантирует требуемую точность, особенно при больших значениях отношения сигнал-шум. Более эффективным оказался предложенный в [105,106] подход, основанный на представлении функции  в виде контурного интеграла, к которому применялся метод трапеций.

Суть метода состоит в том, что после применения в (П.8.1.13) к  как функции переменной  прямого и обратного преобразования Лапласа получим представление для  в виде контурного интеграла комплексной переменной

,             (П.8.1.50)

где   - точка, лежащая на отрицательной части действительной оси между особыми точками  и началом координат,

 -                    (П.8.1.51)

преобразование Лапласа от подынтегральной функции в (П.8.1.13). Для удобства применения идей метода перевала представим контурный интеграл (П.8.1.50) следующим образом

,                     (П.8.1.52)

где

 -                     (П.8.1.53)

фазовая функция.

Как следует из теоремы Коши, значение контурного интеграла не зависит от пути интегрирования в области аналитичности подынтегральной функции. Поэтому, согласно методу перевала [107], контур интегрирования следует деформировать таким образом, чтобы на небольшом его участке  достигала наибольшей величины, а затем быстро спадала, при этом, чтобы исключить быстрые колебания подынтегральной функции, мнимая часть должна оставаться постоянной. Для достижения этого необходимо, чтобы контур интегрирования проходил через седловые точки. Седловые точки являются корнями уравнения

.              (П.8.1.54)

Корни уравнения могут быть найдены численно методом Ньютона-Рафсона

,            (П.8.1.55)

где

.                  (П.8.1.56)

Начальное приближение седловой точки  можно выбрать исходя из гауссовской аппроксимации со средним  и . В этом случае

                (П.8.1.57)

и начальное приближение  является решением уравнения

,                (П.8.1.58)

где , . Знак „-" выбирается при , а „+" - при . Если , то в качестве начального приближения следует выбрать . Итеративный процесс нахождения седловой точки заканчивается, если  . Как правило, данной точности при вычислении седловой точки достаточно, чтобы получить малую погрешность при вычислении интеграла.

Анализ уравнения (П.8.1.54) показывает, что существует единственный корень на отрицательной части действительной оси между началом координат и , который обозначим . Для  или  приемлемой оказывается асимптотическая оценка, полученная методом перевала

.                (П.8.1.59)

Для получения более точного значения целесообразно применить численный метод вычисления контурного интеграла, например, метод трапеций.

Прямолинейный контур интегрирования. Рассмотрим сначала случай, когда контур интегрирования представляет собой вертикальную прямую, проходящую через седловую точку. Для такого контура , , а контурный интеграл сводится к интегралу от действительной переменной, т.е.

.                 (П.8.1.60)

При вычислении методом трапеций интеграла (П.8.1.60) существуют два типа ошибок: ошибка, возникающая из-за усечения несобственного интеграла, и ошибка метода трапеций, возникающая при вычислении определенного интеграла с конечным верхним пределом.

Верхний предел интегрирования  определяется из условия

,                  (П.8.1.61)

где  - требуемая оценка отброшенной части интеграла. Как показано в [106],

,                       (П.8.1.62)

где .

Если , то

                 (П.8.1.63)

Когда , то

.                     (П.8.1.64)

Таким образом, при определении верхнего предела интегрирования задается ошибка   и начальный шаг разбиения . Затем текущие значения , , множитель  вычисляются до тех пор, пока не будет выполнено условие (П.8.1.62). Значения подынтегральной функции используются для вычисления интеграла по формуле трапеций

,                    (П.8.1.65)

где  - подынтегральная функция.

Точность вычисления по методу трапеций можно повысить, уменьшая шаг разбиения в два раза. При этом значения подынтегральной функции вычисляются только в промежуточных точках и добавляются к вычисленному значению интеграла.

Заметим, что рассмотренный прямолинейный контур интегрирования может значительно уклоняться от пути наискорейшего спуска, определяемого условием [107]

,                       (П.8.1.66)

и поэтому скорость сходимости итерационного процесса недостаточно высока. С целью ускорить процесс сходимости вычислительной процедуры в [106] применяется параболический контур интегрирования.

Параболический контур интегрирования. В окрестности седловой точки контур интегрирования можно аппроксимировать параболой [105,106]

,               (П.8.1.67)

где

              (П.8.1.68)

С учетом (П.8.1.67) и (П.8.1.68) контурный интеграл (П.8.1.52) можно представить в виде

,               (П.8.1.69)

к которому применяется вычислительная процедура, описанная для прямолинейного контура. В данном случае скорость сходимости выше, чем для прямолинейного контура.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>