Приложение П.8.2. Анализ вероятностно-временных характеристик алгоритмов обнаружения сигналов

П.8.2.1. Вероятностно-временные характеристики основных видов обнаружителей

В задачах обнаружения и поиска сигналов рабочие характеристики обнаружителей задаются вероятностью ложной тревоги и вероятностью правильного обнаружения сигналов. Указанные РХ используются для случая, когда решение принимается в течение одного интервала наблюдения. Однако на практике в результате наблюдения конечной длительности  существует ненулевая вероятность пропуска сигнала и перехода к следующему шагу обнаружения. Таким образом, процедуру обнаружения сигналов следует рассматривать как процесс, разворачивающийся во времени. В такой ситуации важными характеристиками являются время до обнаружения  (т.е. промежуток времени до принятия решения „сигнал присутствует” при условии, что он действительно присутствует) и время между ложными тревогами  (т.е. время до принятия решения о том, что сигнал присутствует, когда его нет). Описанная ситуация особенно характерна, например, при перехвате сигналов с ППРЧ. В общем случае  и  являются случайными величинами. В дальнейшем для построения РХ ограничимся их средними значениями .

Как уже указывалось ранее, в задачах обнаружения сигнала  на фоне аддитивной помехи  поступающие на вход обнаружителя реализации имеют вид:

                      (П.8.2.1)

На выходе обнаружителя наблюдается статистика . Алгоритм обнаружения на -м шаге можно сформулировать следующим образом: принимается решение  о наличии сигнала, если  и решение об отсутствии сигнала, если , т.е.

                     (П.8.2.2)

При этом возникает необходимость в принятии следующего решения: увеличивать время наблюдения, накапливая тем самым отношение сигнал-шум, или перейти к следующему шагу обнаружения. Критерием, по которому выносится такое решение, является минимум среднего времени до обнаружения при фиксированной вероятности ложной тревоги или среднего времени между ложными тревогами.

Предположим, что общее время для принятия решения об обнаружении сигнала не ограничено. В этом случае число шагов  будет являться случайной величиной с геометрическим законом распределения

,                 (П.8.2.3)

где  - вероятность пропуска сигнала на одном шаге обнаружения.

Математическое ожидание случайной величины  [108]

.                (П.8.2.4)

Если длительность одного шага обнаружения равна , то среднее время до обнаружения

.                    (П.8.2.5)

Аналогично получаем выражение для среднего времени между ложными тревогами

.                    (П.8.2.6)

Заметим, что в данном случае предельное значение вероятности обнаружения

.                        (П.8.2.7)

Дисперсия числа шагов

.                    (П.8.2.8)

Но, так как

,

то из (П.8.2.8) получаем, что

.                     (П.8.2.9)

Дисперсия времени до обнаружения

.              (П.8.2.10)

Предположим, что число шагов при обнаружении ограничено величиной . Вероятность обнаружения за  шагов обозначим через . Если обнаружение производится многоканальным обнаружителем, то, наряду с вероятностями правильного обнаружения  и пропуска сигнала , следует рассматривать также вероятность ошибочного различения . Данные вероятности удовлетворяют условию . Вероятность обнаружения за  шагов определяется из выражения

,                (П.8.2.11)

предел которой при  равен

.               (П.8.2.12)

Вероятность ошибочного различения за  шагов [108]

.              (П.8.2.13)

Ниже рассматривается только задача обнаружения сигналов без их различения. Обозначим через  число шагов до обнаружения, которое при сделанных допущениях является целочисленной случайной величиной, принимающей значения  с вероятностями

.                        (П.8.2.14)

Среднее число шагов до обнаружения [108]

.                    (П.8.2.15)

Дисперсия числа шагов [105]

,                      (П.8.2.16)

где

                 (П.8.2.17)

Из (П.8.2.16) с учетом (П.8.2.15) и (П.8.2.17) получим в явном виде выражение для дисперсии

.                    (П.8.2.18)

При этом предел дисперсии числа шагов при

.             (П.8.2.19)

Ниже рассматриваются алгоритмы расчета вероятностно-временных характеристик основных видов обнаружителей [108].