3.2. Существенная и несущественная априорная неопределенность

Пример 1. Пусть в примере С4 п.2.7 a=1 известно, но  неизвестно; p(=0)=p(=1)=0,5; g(0,0)=g(1,1)=0 и g(0,1)=g(1,0)=1, т. е. за неверное решение дается единичный штраф. Тогда при конкретном значении  оптимальное решающее правило (основанное на ОП) имело бы вид

                                    (3.1)

Подставляя в это правило найденные в примере С4 плотности, получаем  0 или  (если «³», то =1; если «<», то =0).

Оказалось, что, независимо от значения , решающее правило одно и то же. Поэтому это правило следует признать оптимальным в условиях данного примера. Априорная неопределенность (неизвестность ) оказалась несущественной в смысле влияния на структуру решающего правила.

Таким образом, могут встречаться ситуации, когда имеющаяся априорная неопределенность никак не сказывается на решающем правиле – оно остается тем же самым, что и при полном описании. Такая априорная неопределенность называется несущественной.

Однако при этом может оказаться, что средний риск, характеризующий возможные потери при использовании этого правила, остается неопределенным. В рассмотренном примере 1 очевидно, что при = 0 ошибочных решений не будет и средний риск равен нулю. Но этот риск будет возрастать с ростом  (покажите, что он стремится к 0.5 при ® ¥).

 

Пример 2. Пусть теперь в примере 1 еще и  не известны. Тогда при известных  и  оптимальным решающим правилом было бы снова (как и в примере 1)

,

которое, хотя и не зависит от , но существенно зависит от формы сигнала . Мы фактически не знаем, что надо искать, поэтому и не можем найти, используя традиционный подход к синтезу решающего правила. Постараемся найти какое-нибудь подходящее правило обнаружения. Преобразуем имеющееся нереализуемое правило к виду

          , т. е. .

Значение , хотя и неизвестно, но от наблюдений не зависит, обозначим его через . Получаем , т. е. правило заключается в сравнении взвешенной суммы  с порогом . При этом весовыми коэффициентами наблюдений  должны быть неизвестные значения  сигнала. Где бы их взять? Если сигнал в наблюдениях присутствует, то с некоторым приближением  (по крайней мере, при относительно небольшой дисперсии шума ). Отсюда следует правило

.

Осталось только подобрать подходящий порог  (такая задача рассматривается в п.5.4). Отметим, что задачу этого примера можно трактовать как задачу различения гипотез (все )  и  (не все ).

Таким образом, априорная неопределенность может быть и существенной, т. е. влиять на структуру решающего правила.

Рассмотрим теперь общий случай. Пусть имеющаяся априорная неопределенность позволяет только задать класс  пар распределений ). Найдем апостериорный риск

                               (3.2)

для каждой такой пары . Минимум (3.2) по  есть оптимальное решение для фиксированного .

Если этот минимум достигается для , одинакового при всех , то априорная неопределенность несущественна. Само правило с таким свойством называется равномерно наилучшим для заданного класса .

Существование таких правил является редким случаем. Чаще встречаются приближенно равномерные наилучшие правила.