4.1. Линейные скалярные и векторные фильтры Калмана

Рассмотрим сначала относительно простую задачу фильтрации скалярной марковской последовательности, заданной авторегрессионной линейной моделью

,                         (4.1)

ее наблюдения имеют вид

                                         (4.2)

где – скалярные известные величины;  – стандартная гауссовская возмущающая последовательность;   – независимые гауссовские величины с нулевым средним и дисперсиями  (шум наблюдений). На основе наблюдений  требуется найти наилучшую оценку элемента .

         Рекуррентное решение этой задачи дается известным фильтром Калмана [3, 31]:

                           (4.3)

где  .

         Характерно, что коэффициенты фильтра  вычисляются рекуррентно и могут быть найдены заранее, так как не зависят от наблюдений. В случае однородности моделей (когда их параметры постоянны) коэффициент  сходится к предельному значению P.  Это предельное значение, т. е. стационарный вариант фильтра можно использовать с самого начала фильтрации, что ухудшит качество фильтрации только на начальном ее этапе.

         Описанный  фильтр легко обобщается на векторные модели сообщения (4.1) и наблюдений (4.2), когда - векторы, а - матрицы. В этом  случае изменения в уравнениях (4.3) связаны только с переходом к матричным операциям:

                      (4.4)

где  .                    (4.5)

Эти уравнения уже можно использовать для фильтрации отдельных плоских И, представляя их как последовательность вектор-строк (или вектор-столбцов), описываемую авторегрессионной векторной моделью.

         Отметим, что при нелинейных моделях сообщения и наблюдений путем их линеаризации возможно получение фильтров, аналогичных (4.3) и (4.4), но они уже не будут строго оптимальными, как в линейном случае.