4.1. Линейные скалярные и векторные фильтры КалманаРассмотрим сначала относительно простую задачу фильтрации скалярной марковской последовательности, заданной авторегрессионной линейной моделью , (4.1) ее наблюдения имеют вид (4.2) где – скалярные известные величины; – стандартная гауссовская возмущающая последовательность; – независимые гауссовские величины с нулевым средним и дисперсиями (шум наблюдений). На основе наблюдений требуется найти наилучшую оценку элемента . Рекуррентное решение этой задачи дается известным фильтром Калмана [3, 31]: (4.3) где . Характерно, что коэффициенты фильтра вычисляются рекуррентно и могут быть найдены заранее, так как не зависят от наблюдений. В случае однородности моделей (когда их параметры постоянны) коэффициент сходится к предельному значению P. Это предельное значение, т. е. стационарный вариант фильтра можно использовать с самого начала фильтрации, что ухудшит качество фильтрации только на начальном ее этапе. Описанный фильтр легко обобщается на векторные модели сообщения (4.1) и наблюдений (4.2), когда - векторы, а - матрицы. В этом случае изменения в уравнениях (4.3) связаны только с переходом к матричным операциям: (4.4) где . (4.5) Эти уравнения уже можно использовать для фильтрации отдельных плоских И, представляя их как последовательность вектор-строк (или вектор-столбцов), описываемую авторегрессионной векторной моделью. Отметим, что при нелинейных моделях сообщения и наблюдений путем их линеаризации возможно получение фильтров, аналогичных (4.3) и (4.4), но они уже не будут строго оптимальными, как в линейном случае.
|