4.3. Псевдоградиентные адаптивные алгоритмы прогноза изображений

  При решении ряда проблем обработки И часто возникает вспомогательная задача их прогноза, т. е. задача построения оценки  элемента изображения  по некоторой совокупности (шаблону) наблюдений , не включающему в себя сам прогнозируемый элемент. В частности, в фильтрах Калмана экстраполированная оценка есть именно прогноз.

В большинстве практических ситуаций точность прогноза возрастает с расширением шаблона, но при этом существенно возрастают вычислительные затраты.

Будем считать прогноз оптимальным, если достигается минимум среднего квадрата ошибки  прогноза. В этом случае оптимальным прогнозом будет условное математическое ожидание , одним из возможных вариантов которого является беровская функция  от случайных величин . Тип функции  зависит от вида распределений элементов изображения, т. е. от его модели. Поэтому оптимальный прогноз может быть представлен как , где  – параметры функции прогноза, зависящие от . Например, в случае гауссовских изображений с нулевым средним оптимальный прогноз линеен: .

         Если вид функции прогноза определен, то задача сводится к его оптимизации, т. е. к нахождению оптимальных  значений  параметров , при которых достигается минимум квадрата ошибки:

.                                 (4.10)

         Построим ПГ алгоритм минимизирующий этот функционал. Для ПГ алгоритма нужен наблюдаемый псевдоградиент , который нельзя получить как реализации градиента ненаблюдаемого функционала (4.10). Однако у нас имеются наблюдения , оптимальный прогноз которых в силу независимости и центрированности шумов совпадает с оптимальным прогнозом элементов истинного И. Поэтому функционал (4.10) можно заменить вспомогательным функционалом

,                                  (4.11)

наблюдаемым ПГ которого можно взять

 или .  (4.12)

         Нахождение градиента в (4.12)  затруднений не вызывает, так как функция прогноза  задана. Например, при линейном прогнозе .

         Описанные алгоритмы прогноза очень экономичны в вычислительном отношении, что позволяет реализовать их в реальном времени. Например, при линейном прогнозе на один элемент изображения требуется около 4N  арифметических операций, где N – количество элементов в . Обработка осуществляется за один проход И, поэтому не требуется больших резервов памяти.

         При обработке И с плавной неоднородностью алгоритмы дают результаты, сравнимые с потенциально достижимыми. Например, если коэффициент корреляции между соседними элементами в левом верхнем углу И размеров  равен 0.8, а в правом нижнем углу равен 0.95, то СКО ошибки прогноза на 5–10 % больше по сравнению с оптимальным прогнозом при известных коэффициентах корреляции.

         В случае И с выраженной неоднородностью для улучшения прогноза можно применить те же алгоритмы с особым способом обхода элементов. Например, обход с возвратами (три шага вперед, два назад). При таких обходах процедура дольше находится в одном месте, поэтому параметры прогноза успевают лучше подстроиться к локальным особенностям И. Однако при этом возрастают вычислительные затраты.

         На рис. 4.1 приведен пример применения алгоритма для линейного прогноза однородного гауссовского изображения, имеющего разделимую экспоненциальную КФ. Прогноз элемента изображения осуществляется в виде взвешенной суммы его восьми ближайших соседей. На рис. 4.1,а показано исходное изображение, на рис. 4.1,б – его оптимальный прогноз, на рис. 4.1,в – его ошибки. Рис. 4.1,г соответствует адаптивному псевдоградиентному прогнозу, рис. 4.1,д – его ошибкам. Визуально рисунки 4.1,б и 4.1,г одинаковы, так как адаптивный прогноз близок к оптимальному. Тем не менее, ошибки прогноза (увеличенные для визуализации) на рисунках 4.1,в и 4.1,д различаются между собой. В нескольких первых (верхних) строках адаптивного прогноза (рис. 4.1,д) ошибки относительно большие, так как идет процесс подстройки параметров прогноза. Этот процесс быстро устанавливается. На рис. 4.1,е показаны ошибки прогноза при втором проходе изображения, который начат со значений параметров прогноза, установившихся к концу первого прохода. Анализ рис. 4.1,в и 4.1,е позволяет сделать вывод об отсутствии какой-либо разницы между ними, что говорит о том, что прогноз практически сошелся к оптимальному.

Рис. 4.1.