ПРИЛОЖЕНИЕ

При изучении многомерных СП, т. е. случайных функций многих переменных, приходится оперировать с многомерными массивами данных. Удобным математическим аппаратом для такого анализа являются многомерные матрицы и тензоры [16, 21], элементы теории которых изложены в первой части этого приложения в удобной для применения форме.

При решении различных задач обработки изображений и в других приложениях нередко требуется возводить в большие степени и обращать различные матрицы. Во второй части приложения приведены сведения из изящной теории матричных функций [7], применение которых позволяет выполнить эти операции с небольшими вычислительными затратами.

 

1. МНОГОМЕРНЫЕ МАТРИЦЫ И ТЕНЗОРЫ

 

Рассмотрим способы задания линейных преобразований скаляров, векторов и многомерных массивов. Напомним, что преобразование y=y(x) линейного пространства элементов x в линейное пространство элементов y называется линейным, если y(cx) = cy(x) и  y(x+x1) = y(x) + y(x1) для любого скаляра  c  и любых  x  и  x1.

Любое линейное преобразование скалярных величин x в скалярные величины y может быть представлено в форме y = a1x, где a1 – скаляр. Это соотношение запишем в виде  y1 = a1x1.

Для задания преобразования векторов в векторы необходимо задать зависимость каждой из компонент вектора  от компонент вектора . В случае линейности преобразования эта зависимость имеет вид

                        (П.1)

Здесь aij – постоянные коэффициенты, которые представим в виде матрицы A. В матричных обозначениях (П.1) может быть записано как

.                                                 (П.2)

Рассмотрим теперь преобразование -матриц X = {xij} в  -матрицы  Y = {yij}.  Для линейности преобразования нужно, чтобы компоненты матрицы  Y  линейно зависели от компонент X:

,

где  aijkl  – постоянные коэффициенты.

Обобщая эти частные случаи, можно сделать вывод, что любое линейное преобразование m-мерных массивов  в n–мерные массивы  может быть задано равенством

,                       (П.3)

где – постоянные для данного преобразования коэффициенты. Обозначая совокупность этих коэффициентов через A, можно, по аналогии с (П.2), представить (П.3) в краткой форме Y=AX при очевидных соглашениях о смысле этой записи. Итак, для задания линейного преобразования массива размерности m в массив размерности n необходимо задать массив коэффициентов размерности m+n.

Матрицей размерности n называется совокупность действительных или комплексных чисел . При этом n называется размерностью матрицы  A,  а   – ее размерами. При n=1 и M1=1 получаем скаляр; при n=1 и M1=m – вектор; при n=2 – обычную (двумерную) -матрицу , которую представляют в виде таблицы чисел (рис. П.1).

                    

Рис. П.1.

  Трехмерную матрицу можно представить как трехмерную таблицу чисел, а графически изобразить "послойно", обозначая направления изменения соответствующих индексов. Например, на рис. П.2 изображена трехмерная матрица размеров . В трехмерном пространстве две таблицы, разделенные на рисунке пунктиром, находились бы одна за другой.

Рис. П.2.

 

На рис. П.3 изображена четырехмерная матрица размеров . Подобным образом можно изобразить графически матрицу любой размерности.

Если в  n-мерной матрице  A фиксировать какие-нибудь m ее индексов, а остальные оставить изменяющимися, то получится (n-m)-мерная матрица, называемая сечением матрицы A. Например, матрица справа от пунктира на рис. П.2 является (i3=2)-сечением, а вторая строка слева от пунктира  –  (i1=2, i3=1)-сечением матрицы  A.

Рис. П.3.

 

Умножение матрицы на число и сумма (разность) матриц одинаковых размеров определяются так же, как и для двумерных матриц.

Умножение многомерных матриц аналогично умножению двумерных матриц, но более разнообразно и выполняется с применением правил тензорного исчисления зацепления, свертывания или сокращения индексов: если некоторый индекс встречается в выражении дважды, то выражение должно быть по этому индексу просуммировано. Например,

.

Индексы, по которым производится суммирование, называются немыми. Индексы, не являющиеся немыми, называются свободными. После выполнения суммирования по немому индексу i данный индекс в результирующем выражении исчезает, поэтому немой индекс может быть заменен любым другим, не встречающимся в выражении, например, aijxj=aikxk. Свободные же индексы в результирующем выражении сохраняются.

Применяя описанное правило, можно получать различные произведения одних и тех же матриц, варьируя совокупность немых индексов. Например, для матриц A и B, изображенных на рис. П.1 и рис. П.2, можно образовать произведения:

,   (П.4)

    ,                   (П.5)

       (П.6)

и  т. д.

При использовании формулы (П.4) умножение трехмерной матрицы A на четырехмерную B приводит к семимерной матрице F, получающейся умножением каждого элемента матрицы A на каждый элемент матрицы B. Такое произведение называется прямым или внешним, все индексы в нем свободные, обозначается оно  .

В (П.5) произведением тех же матриц является пятимерная матрица G, так как третий индекс матрицы A и третий индекс матрицы B обозначены одним символом k, т. е. являются немыми и после суммирования исчезают. Например, элемент g42121 = a42kb12k1 = a421b1211 + a422b1221.

В (П.6) результатом умножения является трехмерная матрица, так как немых индексов уже два  –  k и l. Например, элемент

.

Произведения, в которых имеются немые индексы, называются (в отличие от внешних произведений) внутренними и могут быть выполнены в два этапа: сначала выполняется прямое произведение, а затем свертываются нужные пары индексов, т. е. заменяются одним. Как и при умножении двумерных матриц, необходимо соответствие размеров. Например, для выполнимости (П.6) необходимо, чтобы размеры  и  матриц A и B удовлетворяли условиям:  и . Свертывание по каждому индексу уменьшает размерность прямого произведения на два. Следовательно, при умножении двух матриц размерностей m и n можно получить матрицы размерностей  m+n, m+n-2, …, |m-n|. Если m=n, то результатом умножения может быть даже скаляр, как, например, в произведении {aij}{bji}.

В этих обозначениях обычное умножение двумерных матриц записывается в виде {aik}{bkj}, умножение матрицы на вектор – {aij}{xj}, скалярное произведение векторов – {xi}{yi}. При этом отпадает необходимость в символе операции транспонирования:  записывается как {aij}{xi}.

Если в многомерной матрице переставить местами индексы, то получится, вообще говоря, другая матрица, называемая изомерой матрицы A. Количество изомер равно n! Например, если в -матрице  (рис. П.1) переставить местами i2 и i3, то получится -матрица, показанная на рис. П.4.  Такие операции являются обобщением операции транспонирования двумерных матриц. Если все изомеры совпадают между собой, то матрица A называется симметричной.

Естественным образом определяется произведение трех и более матриц, например, . При этом операции сложения матриц, умножения их на число и перемножения обладают, как и в случае двумерных матриц, свойствами ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности, кроме коммутативности умножения матриц, которое выполняется только с точностью до изомеры.

 

Рис. П.4.

 

Иногда удобно группировать индексы многомерных матриц, например, обозначить матрицу  как , где  и . При этом групповой индекс во всех операциях над матрицами выступает как единое целое, и индексы, входящие в  и , не могут быть переставлены. Матрица  имеет только две изомеры:  и , а не (m+n)! , и при m=n может оказаться симметричной, даже если  не симметрична.

Как уже отмечалось, каждое линейное преобразование m-мерных массивов  в n-мерные массивы  может быть записано в виде

 ,                                         (П.7)

где  и . И наоборот, каждая m+n-мерная матрица определяет некоторое линейное преобразование   по формуле (П.7). Если, кроме этого,  Z=BY – линейное преобразование  , то суперпозиция этих двух преобразований  Z=B(AX)=(BA)X  имеет матрицу .

Если базис, т. е. систему координат линейного пространства, сменить, то это приведет и к изменению матрицы данного преобразования, т. е. каждому линейному преобразованию будет соответствовать совокупность многомерных матриц. В тензорном анализе n-мерная матрица называется тензором ранга n, если выполнены некоторые условия, связанные с изменением элементов этой матрицы при замене системы координат. Например, выражение «тензор линейного преобразования» означает матрицу этого преобразования в соответствующей системе координат.

В рамках задач данного пособия не требуется преобразований различных координат, поэтому упомянутые условия выполнены и справедлива тензорная терминология. Например, если  –  СП и , то будем называть  тензором преобразования СП  в СП . Здесь же отметим, что применительно к СП удобнее записывать индексы компонент тензоров только снизу, используя верхний индекс как временной.

Особое значение имеют многомерные тензоры четной размерности 2n вида , где групповые индексы  и  имеют одинаковые размеры . Такие тензоры называются квадратными. Они задают линейные преобразования массивов  в массивы  тех же размеров. Это сближает многомерные квадратные матрицы с квадратными двумерными.

Единичной матрицей называется квадратная матрица , где  – символ Кронекера. Она задает тождественное преобразование EX=X. Матрицей, обратной к квадратной матрице , называется матрица  такая, что  и .

Обратную матрицу можно вычислить следующим образом. Пронумеруем все значения группового индекса   числами  от 1 до  и составим двумерную матрицу , где , которая называется разверткой матрицы A и определяется с точностью до одновременной перестановки строк и столбцов.  Детерминантом матрицы A будем называть детерминант ее развертки: . Очевидно, что детерминант не зависит от способа развертки. Если , то матрица A называется неособенной, а ее развертка имеет обратную матрицу . Применяя к  процедуру, обратную развертке, получим искомую обратную матрицу .

Рассмотрим теперь операции дифференцирования тензоров, составленных из функций.

Если имеется скалярная функция  a(x) одного скалярного переменного x, то ее производная  определяется обычным способом. Если  – векторная функция скалярного аргумента x, то ее производная по x определяется как , т. е. следует взять производную по x от каждой из компонент вектора . Производная тензора , зависящего от одного скалярного переменного x, определяется аналогично: , т. е. тензор дифференцируется поэлементно.

Пусть  – скалярная функция векторного аргумента . Ее можно рассматривать и как функцию n скалярных переменных : . Она имеет n частных производных , из которых можно составить вектор , называемый производной функции  по векторной переменной . В общем случае скалярной функции  тензорного аргумента  ее производная определяется равенством  и является тензором той же размерности, что и X.

Пусть  – векторная функция векторного аргумента  . Производной функции  по вектору  называется матрица

,         

составленная из частных производных всех компонент векторной функции  по всем компонентам ее аргумента, что можно записать в сокращенном виде, как

 .                                       (П.8)

По аналогии с (П.8), производная тензора  ранга n по тензору  ранга m определяется как

                                  (П.9)

и является тензором ранга n+m. Очевидно, что  dX/dX = E – единичный тензор.

Рассмотрим тензор  и дадим его аргументу  приращение , т. е. дадим каждому аргументу  приращение ; тогда тензор  получит приращение , состоящее из приращений  его составляющих. Линейная часть приращения , т. е. дифференциал, определяется равенством . Отсюда следует, что тензор  , составленный из дифференциалов его составляющих, может быть записан в следующей форме:

      .

Если  – зависимый тензор, то ,  т. е. , поэтому

.                                            (П.10)

Формулы дифференцирования сложных тензорных функций аналогичны их скалярным вариантам:  поэтому первый дифференциал имеет инвариантную форму (П.10) независимо от того, является  зависимым или независимым переменным.

Производные и дифференциалы высших порядков определяются как .

Столь же легко обобщается дифференцирование скалярных функций k переменных на аналогичные тензорные:

  .           (П.11)

При этом полный дифференциал определяется выражением

 .                           (П.12)

Это определение можно распространить и на составные тензоры. Пусть , где  – тензоры, тогда  X  называется составным тензором. Составной тензор, вообще говоря, не является тензором в обычном смысле. Действительно, пусть  – тензор размеров  и  – тензор размеров , тогда  тензором в обычном смысле не является, так как эту совокупность чисел нельзя представить в виде  потому, что в  Х  есть, например, элемент , но нет элемента . В составном тензоре значения одних индексов ограничиваются значениями других, а в несоставном каждый индекс принимает значения независимо от остальных. Совокупность  является тензором, если все составляющие  – тензоры одинаковых размеров. Пусть ,  – составные тензоры и , тогда , , что является обобщением формул (П.11) и (П.12).

Отметим следующие правила тензорного дифференцирования:

 ,     ,     ,

,   ,

где B – произвольный постоянный тензор и  – симметричный тензор.

Рассмотрим ряд Тейлора для скалярной функции двух скалярных переменных :

   который можно представить в виде

где тензор ; тензор приращений  и  – прямое n-кратное произведение . Полученное выражение – полная аналогия ряда Тейлора скалярной функции одной скалярной переменной. В несколько более общем случае скалярной функции любого тензорного аргумента имеем разложение

.                            (П.13)

Если задана система таких функций, составляющая тензорную функцию тензорного аргумента , то, записывая (П.13) для каждой из них и образуя тензоры из однотипных членов этих рядов, получаем тензорный ряд Тейлора

,                   (П.14)

по форме не отличающийся от ряда Тейлора скалярной функции одного скалярного аргумента.