6.2.3. Влияние аддитивного шума на оценку фазы

Чтобы рассчитать влияние шума на оценку фазы несущей, предположим, что шум на входе ФАП узкополосный. Для этого анализа мы предположим, что ФАП отслеживает синусоидальный сигнал вида

                                      (6.2.23)

который, искажается узкополосным аддитивным шумом

                  (6.2.24)

Синфазная и квадратурная компоненты шума предполагаются статистически независимыми стационарными гауссовскими процессами с (двухсторонней) спектральной плотностью мощности . Используя простые тригонометрические соотношения, шум (6.2.24) можно выразить так

     (6.2.25)

где

                   (6.2.26)

Заметим, что

так что квадратурные компоненты  и  имеют точно такие же статистические характеристики, как  и .

Если  умножается на выход ГУН, а слагаемым с удвоенной частотой несущей можно пренебречь, на вход петлевого фильтра действует зашумлённый сигнал

      (6.2.27)

где, по определению,  - фазовая ошибка. Таким образом, мы имеем эквивалентную модель для ФАП с аддитивным шумом, как показано на рис. 6.2.6.

Рис. 6.2.6. Эквивалентная модель замкнутой петли ФАП с аддитивным шумом

Если мощность  приходящего сигнала намного больше, чем мощность шума, мы можем линеаризовать ФАП и, таким образом, легко определить влияние аддитивного шума на качество оценки . При этих условиях модель линеаризованной ФАП с аддитивным шумом иллюстрируется рис. 6.2.7.

Рис. 6.2.7. Линеаризованная модель замкнутой петли ФАП с аддитивным шумом

Заметим, что параметр усиления  можно нормировать к  1, выполнив умножение шумовых слагаемых на ; тогда шумовая компонента становится равной

                      (6.2.28)

Поскольку шум  на входе петли является аддитивным, дисперсия фазовой ошибки , которая является также дисперсией фазы выхода ГУН, равна

                                                                    (6.2.29)

где  - односторонняя эквивалентная шумовая полоса петли, определяемая (6.2.22). Заметим, что  - просто отношение суммарной мощности шума в полосе ФАП к . Следовательно,

                                                                          (6.2.30)

где  определено как отношение сигнал/шум

                                                   (6.2.31)

Выражение для дисперсии  ошибки фазы на входе ГУН относится к случаю, когда достаточно велико, так что приемлема линейная модель ФАП. Точный анализ нелинейной модели ФАП поддается математической обработке, когда , что относится к петле первого порядка. В этом случае можно получит ФПВ для фазовой ошибки (см. Витерби, 1966), и она имеет вид

                                          (6.2.32)

где  - ОСШ, даваемое (6.2.31) с , которая является соответствующей шумовой полосой петли первого порядка, а  - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.

Из выражения для  можно получить величину дисперсии для фазовой ошибки для петли первого порядка. График дан на рис 6.2.8 как функция от . Для сравнения показан результат, полученный для линеаризованной модели ФАП. Заметим, что дисперсия для линейной модели тесно примыкает к точной дисперсии для . Следовательно, линейная модель подходит для практических целей.

Рис.6.2.8.  Сравнение дисперсии фазы на выходе ГУН при точной и приближенной (линеаризованной) модели ФАП 1 порядка.

Приближенный анализ статистических характеристик фазовой ошибки для нелинейной ФАП также проведён. Особую важность имеет переходный процесс ФАП на начальной стадии. Другая важная проблема – поведение петли при низких ОСШ. Известно, например, что, когда ОСШ на входе ФАП понижается ниже определенной величины, наблюдается быстрое ухудшение качества ФАП. Начинаются срывы синхронизма, приводящие к импульсному шуму, проявляющемуся как щелчки, который приводит к потере качества ФАП. Результаты по этим вопросам можно найти в книге Витерби (1966), Линдсея (1972), Линдсея и Саймона (1979), Гарднера (1979) и в некоторых статьях Гупта (1975), Линдсея и Чай (1981).

До сих пор мы рассматривали оценку фазы несущей, когда несущая не модулирована. Ниже мы рассмотрим восстановление фазы несущей, когда несущая несёт информацию.