7.1.3. Пропускная способность канала, достигаемая при помощи ортогональных сигналов

В разделе 5.2 мы использовали простую объединённую границу, чтобы показать, что для ортогональных сигналов вероятность ошибки можно сделать сколь угодно малой путем увеличения числа сигналов  при условии, что. Мы указывали, что простая объединенная граница не дает наилучшую нижнюю границу для ОСШ на бит. Проблема в том, что верхняя граница, использованная для аппроксимации  не очень плотная при малых .

Альтернативный подход сводится к использованию двух различных верхних границ для  в зависимости от величины х. Начиная с (5.2.21), мы видели, что

.                      (7.1.38)

Это как раз объединенная граница, которая плотная, когда у велико, т.е. , где  зависит от . Если у мало, объединенная граница превышает единицу для больших . Поскольку

                                     (7.1.39)

для всех у, мы можем использовать эту границу для , т.к. она плотнее, чем единичная граница. Тогда (5.2.21) можно оценить верхней границей так:

.              (7.1.40)

Величину , которая минимизирует эту верхнюю границу, можно найти дифференцированием правой части (7.1.40) и приравниванием производной нулю. Это выполняется легко и решение таково:

                                                                      (7.1.41)

или, что эквивалентно

                          (7.1.42)

Определив , вычислим простые экспоненциальные верхние границы для интегралов в (7.1.40). Для первого интеграла имеем

     (7.1.43)

Второй интеграл ограничен сверху так:

    (7.1.44)

Объединяя границы для двух интегралов и подставив для, мы получим

(7.1.45)

В области

   .        (7.1.46)

В области  два слагаемых в (7.1.45) идентичны. Следовательно,

                                  (7.1.47)

Поскольку и  границы (7.1.46) и (7.1.47) можно выразить так:

                    (7.1.48)

Первая верхняя граница совпадает с объединённой границей, представленной ранее, но она шире для больших значений . Заметим, что , когда при условии, что . Но  - это предельное значение ОСШ на бит, требуемое для надёжной передачи, когда скорость передачи равна пропускной способности канала с АБТШ при неограниченной полосе частот, как было показано в разделе (7.1.2). Действительно, если выражения

                                 (7.1.49)

подставить в две верхние границы, даваемые (7.1.46) и (7.1.47), где -пропускная способность канала с АБГШ при неограниченной полосе частот, получаем результат

                       (7.1.50)

Таким образом, мы выразили границы через  и битовую скорость по каналy . Первая верхняя граница приемлема для скоростей ниже , в то время как вторая плотнее, чем первая, для скоростей между  и . Ясно, что вероятность ошибки можно сделать произвольно малой, взяв  ( для фиксированного ), в предположении, чтo. Более того, мы видели, что ансамбль ортогональных сигналов достигает границ пропускной способности канала, когда , когда скорость .