7.1.4. Функции надёжности канала

Экспоненциальные границы для вероятности ошибки -ичной ортогональной системы сигналов в канале с АБГШ и неограниченной полосой, даваемые (7.1.50), можно выразить так

                                    (7.1.51)

Показатель экспоненты

        (7.1.52)

в (7.1.51) назван функцией надёжности канала с АБГШ и неограниченной полосой. График  дан на рис. 7.1.9. Показан также показатель экспоненты для объединённой границы для , даваемый (5.2.27), которую можно выразить так:

,.                (7.1.53)

Ясно, что показатель экспоненты в (7.1.53) не так плотен, как  из-за изменения аргумента в объединённой границе в широких пределах.

Как показал Галлагер (1965), границы, даваемые (7.1.51) и (7.1.52), являются экспоненциально плотными. Это подразумевает, что не существует другая функция надёжности, скажем , удовлетворяющая условию  для произвольного . Следовательно, вероятность ошибки ограничена сверху и снизу как

,                          (7.1.54)

где константы имеют только слабую зависимость от , т.е. они меняются медленно с изменением .

Поскольку ортогональные сигналы обеспечивают по существу то же качество, что и оптимальные симплексные сигналы для больших , нижняя граница в (7.1.54) приемлема для любого ансамбля сигналов. Следовательно, функция надёжности , определяемая (7.1.52), определяет экспоненциальные характеристики вероятности ошибки для цифровых сигналов в канале с АБГШ и с неограниченной полосой частот.

Рис. 7.1.9. Функция надёжности канала с АБГШ при неограниченной полосе частот

Хотя вероятность ошибки можно сделать как угодно малой увеличивая число ортогональных или биортогональных или симплексных сигналов при , для относительно умеренного числа сигналов, имеется большое расхождение между реальным качеством и лучшим достижимым качеством, даваемой формулой для пропускной способности канала. Для примера, из рис. 5.2.17 мы видим, что ансамбль из  ортогональных сигналов требует для достижения вероятности ошибки  ОСШ на бит при когерентном детектировании примерно 7,5 дБ. В контрасте формула для пропускной способности канала указывает на то, что для  надёжная передача возможна с ОСШ порядка -0,8 дБ. Это представляет большую разницу в 8,3 дБ/бит и является стимулом для поиска более эффективных форм сигналов. В этой главе и главе 8 мы покажем, что кодированные сигналы могут значительно сократить расхождение.

Аналогичные расхождения в качестве существуют также в частотно - ограниченной области рис. 5.2.17, где . Однако, в этой области мы должны быть более искусны для того, чтобы использовать кодирование для улучшения качества, поскольку мы не можем расширить полосу частот, как в области с ограничением мощности сигнала. Польза от техники кодирования для эффективных по полосе частот систем связи также обсуждается в главе 8.